Para resolver a integral de linha \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \), onde \( \mathbf{F}(x, y, z) = x^2 \hat{e}_z + 2xz \hat{e}_y + x^2 z \hat{e}_x \) e a curva \( C \) é definida por \( \gamma(t) = (t, t^2, 2t^2) \) para \( 0 \leq t \leq 1 \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Parametrização da curva: A curva já está parametrizada por \( \gamma(t) = (t, t^2, 2t^2) \). Assim, temos: - \( x = t \) - \( y = t^2 \) - \( z = 2t^2 \) 2. Derivada da curva: Calculamos \( d\mathbf{r} = \frac{d\gamma}{dt} dt \): \[ \frac{d\gamma}{dt} = \left(1, 2t, 4t\right) \] Portanto, \( d\mathbf{r} = (1, 2t, 4t) dt \). 3. Substituição no campo vetorial: Substituímos \( x, y, z \) na função \( \mathbf{F} \): \[ \mathbf{F}(t, t^2, 2t^2) = (t^2 \cdot 2t^2, 2t \cdot 2t^2, t^2 \cdot 2t^2) = (2t^4, 4t^3, 2t^4) \] 4. Produto escalar: Calculamos \( \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \): \[ \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = (2t^4, 4t^3, 2t^4) \cdot (1, 2t, 4t) = 2t^4 \cdot 1 + 4t^3 \cdot 2t + 2t^4 \cdot 4t \] \[ = 2t^4 + 8t^4 + 8t^5 = 10t^4 + 8t^5 \] 5. Integral de linha: Agora, integramos de \( t = 0 \) a \( t = 1 \): \[ \int_0^1 (10t^4 + 8t^5) dt = \left[ \frac{10}{5}t^5 + \frac{8}{6}t^6 \right]_0^1 = \left[ 2t^5 + \frac{4}{3}t^6 \right]_0^1 \] \[ = 2(1)^5 + \frac{4}{3}(1)^6 - (0) = 2 + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} + \frac{4}{3} = \frac{10}{3} \] Portanto, a integral de linha \( \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} \) resulta em \( \frac{10}{3} \). Analisando as alternativas, a resposta correta não está entre as opções apresentadas (A 1, B 2, C 3, D 4, E 5). Você pode verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.