Para encontrar a transformada de Laplace da função \( f(t) = \sin(\omega t) \), utilizamos a fórmula padrão da transformada de Laplace para a função seno: \[ \mathcal{L}\{\sin(\omega t)\} = \frac{\omega}{s^2 + \omega^2} \] Agora, vamos analisar as alternativas apresentadas: a) \( F(t) = \frac{\omega}{s^{2}}, \operatorname{com} x \geq 0 \) - Falsa, pois a expressão correta inclui \( s^2 + \omega^2 \) no denominador. b) \( F(t) = \frac{\omega^{2}}{s^{2}}, \operatorname{com} x>0 \) - Falsa, pois a expressão correta não é \( \omega^2 \) e também não tem \( s^2 \) no denominador. c) \( F(t) = \frac{\omega^{2}}{s \omega^{2}}, \operatorname{com} x \neq 0 \) - Falsa, pois a expressão não corresponde à transformada de Laplace da função seno. d) \( F(t) = \frac{s^{2}+\omega^{2}}{\omega}, \operatorname{com} x \geq 0 \) - Falsa, pois a expressão não é a correta para a transformada de Laplace da função seno. e) \( F(t) = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}, \operatorname{com} x>0 \) - Verdadeira, pois esta é a forma correta da transformada de Laplace da função seno. Portanto, a alternativa correta é: e) \( F(t) = \frac{\omega}{s^{2}+\omega^{2}}, \operatorname{com} x>0 \).