Vamos resolver a questão passo a passo. 1. Progressão Geométrica (PG): Para a sequência (2, x, y) ser uma PG, a razão entre os termos deve ser constante. Assim, temos: \[ \frac{x}{2} = \frac{y}{x} \implies x^2 = 2y \quad (1) \] 2. Progressão Aritmética (PA): Para a sequência (x+1, y, 11) ser uma PA, a média dos termos deve ser igual ao termo do meio. Portanto: \[ y = \frac{(x+1) + 11}{2} \implies 2y = x + 1 + 11 \implies 2y = x + 12 \quad (2) \] Agora, temos duas equações: - (1) \( x^2 = 2y \) - (2) \( 2y = x + 12 \) Substituindo a equação (2) na (1): \[ x^2 = x + 12 \] Rearranjando, temos: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \] Isso nos dá duas soluções: \[ x = 4 \quad \text{ou} \quad x = -3 \] Como estamos lidando com inteiros positivos, temos \( x = 4 \). Agora, substituímos \( x \) na equação (2) para encontrar \( y \): \[ 2y = 4 + 12 \implies 2y = 16 \implies y = 8 \] Portanto, \( x + y = 4 + 8 = 12 \). A resposta correta é: b) 12.