Para resolver a questão, precisamos entender como a função \( f(x, y) = x \) se transforma em coordenadas polares. Em coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) A integral dupla em coordenadas polares também inclui o fator de Jacobiano, que é \( r \). Portanto, a integral da função \( f(x, y) = x \) em coordenadas polares se torna: \[ \int \int_D x \, dA = \int \int_D (r \cos(\theta)) \cdot r \, dr \, d\theta = \int \int_D r^2 \cos(\theta) \, dr \, d\theta \] Agora, vamos analisar as alternativas: A. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} (r \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Esta integral está correta, pois representa a função \( x \) em coordenadas polares. B. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} (r \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Esta integral está incorreta, pois representa a função \( y \) em coordenadas polares. C. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} 2 \cos \, dr \, d\theta \) - Esta integral não está correta, pois não representa a função \( x \) corretamente. D. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} 2 \, dr \, d\theta \) - Esta integral também não está correta, pois não representa a função \( x \). E. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} 16 \, dr \, d\theta \) - Esta integral não está correta, pois não representa a função \( x \). Portanto, a alternativa correta que representa a integral dada em coordenadas polares é: A. \( \int_0^{2} \int_0^{\pi/2} (r \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \).