Determine a derivada direcional da função f(x,y) 2x2 +5, I na direção do vetor ( 3 2 ' 1/) no ponto (x,y) = (1,1). 13

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 2x^2 + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = \left( \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}} \right) \) no ponto \( (1, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] Para \( f(x, y) = 2x^2 + 5 \): - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4x \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = (4x, 0) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = (4 \cdot 1, 0) = (4, 0) \] 3. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Onde \( \mathbf{u} = \left( \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}} \right) \). Então, calculamos o produto escalar: \[ D_{\mathbf{u}} f = (4, 0) \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{13}}, \frac{2}{\sqrt{13}} \right) = 4 \cdot \frac{3}{\sqrt{13}} + 0 \cdot \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) na direção do vetor \( (3, 2) \) no ponto \( (1, 1) \) é \( \frac{12}{\sqrt{13}} \).