Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 2y^2x + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{v} = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) \) no ponto \( (1, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 2y^2 \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 4yx \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = \left( 2y^2, 4yx \right) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = \left( 2(1)^2, 4(1)(1) \right) = (2, 4) \] 3. Normalize o vetor \( \mathbf{v} \): O vetor \( \mathbf{v} = \left( \frac{3}{2}, -\frac{1}{2} \right) \) deve ser normalizado: \[ \|\mathbf{v}\| = \sqrt{\left( \frac{3}{2} \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} \right)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2} \] O vetor unitário \( \mathbf{u} \) na direção de \( \mathbf{v} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{3/2}{\|\mathbf{v}\|}, \frac{-1/2}{\|\mathbf{v}\|} \right) = \left( \frac{3/2}{\frac{\sqrt{10}}{2}}, \frac{-1/2}{\frac{\sqrt{10}}{2}} \right) = \left( \frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Portanto: \[ D_{\mathbf{u}} f = (2, 4) \cdot \left( \frac{3}{\sqrt{10}}, -\frac{1}{\sqrt{10}} \right) = 2 \cdot \frac{3}{\sqrt{10}} + 4 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right) = \frac{6}{\sqrt{10}} - \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{2}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{5} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) na direção do vetor \( \mathbf{v} \) no ponto \( (1, 1) \) é \( \frac{\sqrt{10}}{5} \).