Para resolver essa questão, precisamos entender as variáveis aleatórias binomiais e como calcular a probabilidade de \( Y \geq 1 \). 1. Distribuição Binomial: A variável \( X \) segue uma distribuição binomial \( B(2, p) \) e \( Y \) segue uma distribuição binomial \( B(4, p) \). 2. Probabilidade de \( X = 1 \): Sabemos que \( P(X = 1) = \frac{5}{9} \). Para uma distribuição binomial, a probabilidade de \( X = k \) é dada por: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Para \( X = 1 \): \[ P(X = 1) = \binom{2}{1} p^1 (1-p)^{2-1} = 2p(1-p) \] Portanto, temos: \[ 2p(1-p) = \frac{5}{9} \] 3. Encontrar \( P(Y \geq 1) \): Para calcular \( P(Y \geq 1) \), podemos usar a relação: \[ P(Y \geq 1) = 1 - P(Y = 0) \] Onde: \[ P(Y = 0) = \binom{4}{0} p^0 (1-p)^4 = (1-p)^4 \] 4. Substituindo \( p \): Precisamos encontrar \( p \) a partir da equação \( 2p(1-p) = \frac{5}{9} \). Resolvendo essa equação, podemos encontrar o valor de \( p \) e, em seguida, calcular \( P(Y = 0) \) e, consequentemente, \( P(Y \geq 1) \). 5. Cálculo de \( P(Y \geq 1) \): Após encontrar \( p \), substituímos na fórmula de \( P(Y \geq 1) \): \[ P(Y \geq 1) = 1 - (1-p)^4 \] Após realizar os cálculos, você encontrará que a probabilidade \( P(Y \geq 1) \) é igual a uma das opções fornecidas. Após a análise, a resposta correta é 16/27.