Para resolver a questão, precisamos entender como a função e a região são descritas em coordenadas polares. A função dada é \( f(x, y) = x \). Em coordenadas polares, temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) A região \( D \) é o primeiro quadrante contido pelo círculo \( x^2 + y^2 = 16 \), que em coordenadas polares se torna \( r^2 = 16 \) ou \( r = 4 \). Portanto, a integral será calculada para \( r \) variando de \( 0 \) a \( 4 \) e \( \theta \) variando de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). A integral em coordenadas polares é dada por: \[ \iint_D f(x, y) \, dA = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \cos(\theta)) \cdot r \, dr \, d\theta \] onde \( dA = r \, dr \, d\theta \). Portanto, a integral se torna: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 r^2 \cos(\theta) \, dr \, d\theta \] Agora, vamos analisar as alternativas: A. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r^2 \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Incorreto, pois usa \( \sin(\theta) \) em vez de \( \cos(\theta) \). B. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r^2 \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Correto, pois é a forma correta da integral. C. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Incorreto, pois usa \( \sin(\theta) \) e não considera \( r^2 \). D. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Incorreto, pois não tem \( r^2 \). Portanto, a alternativa correta que representa a integral dada em coordenadas polares é: B. \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r^2 \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \).