Para calcular o volume do reservatório de água com a função \( f(x,y) = 4 - x^2 - y^2 \) sobre a região circular \( R \), vamos usar coordenadas polares. 1. Substituição das coordenadas polares: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - A função se torna: \[ f(r \cos(\theta), r \sin(\theta)) = 4 - (r \cos(\theta))^2 - (r \sin(\theta))^2 = 4 - r^2 \] 2. Definição da integral dupla: - O volume \( V \) é dado por: \[ V = \iint_R f(x,y) \, dA = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 3. Cálculo da integral interna: - Primeiro, calculamos a integral em relação a \( r \): \[ \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr = \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \] - Calculando: \[ = \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = \left[ 8 - 4 \right] = 4 \] 4. Cálculo da integral externa: - Agora, integramos em relação a \( \theta \): \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot (2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume total do reservatório é: \[ V = 8\pi \text{ metros cúbicos.} \]