Para resolver a questão sobre a integral dupla em coordenadas polares, precisamos entender como fazer a mudança de variáveis de coordenadas cartesianas (x, y) para coordenadas polares (r, θ). A relação entre as coordenadas cartesianas e polares é dada por: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) Além disso, ao fazer a mudança de variáveis, o elemento de área \( dA \) em coordenadas polares é dado por \( dA = r \, dr \, d\theta \). A região descrita pelo círculo \( x^2 + y^2 = 16 \) em coordenadas polares se torna \( r^2 = 16 \) ou \( r = 4 \). Como estamos no primeiro quadrante, \( \theta \) varia de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \). Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \sin(\theta)) \, r \, dr \, d\theta \) - Correto, pois a função \( f(x, y) = x \) se torna \( r \cos(\theta) \) e o elemento de área é \( r \, dr \, d\theta \). B) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \cos(\theta)) \, r \, dr \, d\theta \) - Correto, pois a função \( f(x, y) = x \) se torna \( r \cos(\theta) \) e o elemento de área é \( r \, dr \, d\theta \). C) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r^2 \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Correto, pois a função \( f(x, y) = x \) se torna \( r \cos(\theta) \) e o elemento de área é \( r \, dr \, d\theta \). D) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r^2 \cos(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Correto, mas a função não está correta. E) \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \sin(\theta)) \, dr \, d\theta \) - Incorreto, pois a função não representa \( x \). A alternativa que representa corretamente a integral dada em coordenadas polares é a alternativa B: \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \int_0^4 (r \cos(\theta)) \, r \, dr \, d\theta \).