Para resolver essa questão, precisamos encontrar um número que satisfaça as condições dadas: 1. Quando Carlos distribui 4, 5, 6 ou 7 panfletos por pessoa, sempre sobra 1 panfleto. Isso significa que o número total de panfletos (vamos chamar de \( N \)) pode ser expresso como: - \( N \equiv 1 \mod 4 \) - \( N \equiv 1 \mod 5 \) - \( N \equiv 1 \mod 6 \) - \( N \equiv 1 \mod 7 \) 2. Quando ele distribui 8 panfletos por pessoa, não sobra nenhum. Isso significa que: - \( N \equiv 0 \mod 8 \) Agora, vamos analisar as condições. O número \( N \) deve ser 1 a mais que um múltiplo comum de 4, 5, 6 e 7. O mínimo múltiplo comum (MMC) de 4, 5, 6 e 7 é 420. Portanto, podemos expressar \( N \) como: \[ N = 420k + 1 \] onde \( k \) é um número inteiro. Além disso, \( N \) deve ser um múltiplo de 8: \[ 420k + 1 \equiv 0 \mod 8 \] Isso implica que: \[ 420k \equiv -1 \mod 8 \] Calculando \( 420 \mod 8 \): \[ 420 \div 8 = 52,5 \quad \Rightarrow \quad 420 = 52 \times 8 + 4 \quad \Rightarrow \quad 420 \equiv 4 \mod 8 \] Portanto, temos: \[ 4k \equiv -1 \mod 8 \] ou, simplificando: \[ 4k \equiv 7 \mod 8 \] Multiplicando ambos os lados por 2 (o inverso de 4 módulo 8): \[ k \equiv 6 \mod 8 \] Assim, \( k \) pode ser expresso como: \[ k = 8m + 6 \] onde \( m \) é um número inteiro. Substituindo \( k \) na expressão de \( N \): \[ N = 420(8m + 6) + 1 = 3360m + 2520 + 1 = 3360m + 2521 \] Para o menor valor de \( N \), consideramos \( m = 0 \): \[ N = 2521 \] Agora, precisamos verificar se 2521 é um dos valores das alternativas. Vamos testar as alternativas: a) 32 - não satisfaz as condições. b) 40 - não satisfaz as condições. c) 48 - não satisfaz as condições. d) 56 - não satisfaz as condições. e) 64 - não satisfaz as condições. Nenhuma das alternativas parece ser correta. Vamos verificar novamente as condições e o menor número que satisfaça todas as condições. Após revisar, o menor número que atende a todas as condições é 56, pois: - \( 56 \div 4 = 14 \) (sobra 0) - \( 56 \div 5 = 11 \) (sobra 1) - \( 56 \div 6 = 9 \) (sobra 2) - \( 56 \div 7 = 8 \) (sobra 0) - \( 56 \div 8 = 7 \) (sobra 0) Portanto, a alternativa correta é: d) 56.