Para calcular o volume do reservatório parabólico descrito, você pode usar coordenadas polares, já que a base é um círculo. A função dada é \( z = f(x, y) = 4 - z^2 - v \), mas parece que houve um erro na formulação. Vamos considerar a função correta como \( z = 4 - r^2 \), onde \( r \) é a distância do centro do círculo. 1. Defina a região R: A base do reservatório é um círculo de raio 2, então em coordenadas polares temos: - \( x = r \cos(\theta) \) - \( y = r \sin(\theta) \) - \( r \) varia de 0 a 2 e \( \theta \) varia de 0 a \( 2\pi \). 2. Volume V: O volume abaixo da superfície e acima da região circular é dado pela integral dupla: \[ V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4 - r^2) r \, dr \, d\theta \] 3. Calcule a integral: - Primeiro, calcule a integral interna: \[ \int_0^2 (4r - r^3) \, dr \] - Isso resulta em: \[ \left[ 2r^2 - \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = \left[ 2(2^2) - \frac{(2^4)}{4} \right] = 8 - 4 = 4 \] 4. Agora, calcule a integral externa: \[ V = \int_0^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \cdot (2\pi) = 8\pi \] Portanto, o volume do reservatório é \( V = 8\pi \) metros cúbicos.