Para determinar o comprimento da trajetória descrita por um extremo da hélice do avião, precisamos considerar tanto o deslocamento linear do avião quanto o movimento circular da hélice. 1. O avião se desloca em linha reta a uma velocidade constante, o que significa que ele percorre uma distância \( L \). 2. A hélice, que tem um raio \( r \), está girando a uma velocidade angular \( w \) (em voltas por unidade de tempo). O movimento da hélice pode ser descrito como um movimento circular, e a velocidade tangencial da ponta da hélice é dada por \( v_t = r \cdot w \). A trajetória total percorrida pela ponta da hélice enquanto o avião se desloca \( L \) é a combinação do deslocamento linear e do movimento circular. Para calcular o comprimento da trajetória, usamos o teorema de Pitágoras, considerando o deslocamento horizontal e a velocidade tangencial da hélice. A expressão correta para o comprimento da trajetória é: \[ \int_C 1 = L \sqrt{1 + (r \cdot w)^2} \] Substituindo \( (r \cdot w) \) por \( 2\pi r w \) (já que \( w \) é a velocidade angular em voltas por unidade de tempo), obtemos: \[ \int_C 1 = L \sqrt{1 + 4\pi^2 r^2 w^2} \] Portanto, a alternativa correta é: \(\int_C 1 = L\sqrt{1 + 4\pi^2r^2w^2}.\)