Determine a derivada direcional da função , na direção do vetor ( , − ) √3 2 1no ponto (x,y) = (1,1). f(x, y) = + 5 2x 2 y

Para determinar a derivada direcional da função \( f(x, y) = 2x^2y + 5 \) na direção do vetor \( \mathbf{u} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2}, -1 \right) \) no ponto \( (x, y) = (1, 1) \), siga os passos abaixo: 1. Calcule o gradiente da função \( f \): \[ \nabla f(x, y) = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] - \( \frac{\partial f}{\partial x} = 4xy \) - \( \frac{\partial f}{\partial y} = 2x^2 \) Portanto, o gradiente é: \[ \nabla f(x, y) = (4xy, 2x^2) \] 2. Avalie o gradiente no ponto \( (1, 1) \): \[ \nabla f(1, 1) = (4 \cdot 1 \cdot 1, 2 \cdot 1^2) = (4, 2) \] 3. Normalize o vetor \( \mathbf{u} \): O vetor \( \mathbf{u} \) já está normalizado, pois: \[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{\left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 + (-1)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + 1} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \] Portanto, o vetor unitário \( \mathbf{u} \) é: \[ \mathbf{u} = \left( \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}, \frac{-1}{\frac{\sqrt{7}}{2}} \right) = \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{-2}{\sqrt{7}} \right) \] 4. Calcule a derivada direcional: A derivada direcional \( D_{\mathbf{u}} f \) é dada por: \[ D_{\mathbf{u}} f = \nabla f \cdot \mathbf{u} \] Substituindo os valores: \[ D_{\mathbf{u}} f = (4, 2) \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{-2}{\sqrt{7}} \right) = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} + 2 \cdot \frac{-2}{\sqrt{7}} = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{7}} - \frac{4}{\sqrt{7}} = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{7}} \] Portanto, a derivada direcional da função \( f \) na direção do vetor \( \mathbf{u} \) no ponto \( (1, 1) \) é: \[ D_{\mathbf{u}} f = \frac{4(\sqrt{3} - 1)}{\sqrt{7}} \]