Problema 39: Determine o valor de k para que a equação z^2 + kz + 25 = 0 tenha raízes reais. a) k ≥ 10 b) k ≤ 10 c) k < 10 d) k > 10

Para que a equação quadrática \( z^2 + kz + 25 = 0 \) tenha raízes reais, o discriminante deve ser maior ou igual a zero. O discriminante \( \Delta \) é dado por: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] Neste caso, \( a = 1 \), \( b = k \) e \( c = 25 \). Portanto, temos: \[ \Delta = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot 25 \] \[ \Delta = k^2 - 100 \] Para que a equação tenha raízes reais, precisamos que \( \Delta \geq 0 \): \[ k^2 - 100 \geq 0 \] Resolvendo essa inequação: \[ k^2 \geq 100 \] Isso implica que: \[ k \leq -10 \quad \text{ou} \quad k \geq 10 \] Analisando as alternativas: a) \( k \geq 10 \) - Correto, pois atende a condição. b) \( k \leq 10 \) - Incorreto, pois não considera \( k \geq 10 \). c) \( k < 10 \) - Incorreto, pois não atende a condição. d) \( k > 10 \) - Correto, mas não abrange o caso \( k = 10 \). A alternativa que melhor representa a condição para que a equação tenha raízes reais é: a) k ≥ 10.