Qual é o valor da integral \(\int_0^1 (x^5 + 2x^4 + 3x^3) \, dx\)? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4

Para calcular a integral \(\int_0^1 (x^5 + 2x^4 + 3x^3) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(x^5\) é \(\frac{x^6}{6}\). 2. A integral de \(2x^4\) é \(2 \cdot \frac{x^5}{5} = \frac{2x^5}{5}\). 3. A integral de \(3x^3\) é \(3 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{3x^4}{4}\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (x^5 + 2x^4 + 3x^3) \, dx = \frac{x^6}{6} + \frac{2x^5}{5} + \frac{3x^4}{4} \] Agora, avaliamos de 0 a 1: \[ \left[ \frac{1^6}{6} + \frac{2 \cdot 1^5}{5} + \frac{3 \cdot 1^4}{4} \right] - \left[ \frac{0^6}{6} + \frac{2 \cdot 0^5}{5} + \frac{3 \cdot 0^4}{4} \right] \] Isso simplifica para: \[ \frac{1}{6} + \frac{2}{5} + \frac{3}{4} \] Agora, precisamos encontrar um denominador comum para somar essas frações. O mínimo múltiplo comum de 6, 5 e 4 é 60. Convertendo cada fração: \[ \frac{1}{6} = \frac{10}{60}, \quad \frac{2}{5} = \frac{24}{60}, \quad \frac{3}{4} = \frac{45}{60} \] Agora somamos: \[ \frac{10}{60} + \frac{24}{60} + \frac{45}{60} = \frac{79}{60} \] Portanto, o valor da integral \(\int_0^1 (x^5 + 2x^4 + 3x^3) \, dx\) é \(\frac{79}{60}\), que não está entre as opções dadas. Parece que houve um erro nas opções ou na formulação da pergunta. Você pode verificar se as opções estão corretas?