Se z = cos(θ) + i sin(θ), qual é z^4? a) cos(4θ) + i sin(4θ) b) cos(2θ) + i sin(2θ) c) cos^4(θ) + i sin^4(θ) d) cos(3θ) + i sin(3θ)

Para resolver a questão, podemos usar a fórmula de De Moivre, que afirma que se \( z = \cos(\theta) + i \sin(\theta) \), então: \[ z^n = \cos(n\theta) + i \sin(n\theta) \] No seu caso, queremos encontrar \( z^4 \): \[ z^4 = \cos(4\theta) + i \sin(4\theta) \] Agora, analisando as alternativas: a) \( \cos(4\theta) + i \sin(4\theta) \) - Esta é a resposta correta, de acordo com a fórmula de De Moivre. b) \( \cos(2\theta) + i \sin(2\theta) \) - Incorreto, pois é para \( n=2 \). c) \( \cos^4(\theta) + i \sin^4(\theta) \) - Incorreto, não se aplica a De Moivre. d) \( \cos(3\theta) + i \sin(3\theta) \) - Incorreto, pois é para \( n=3 \). Portanto, a alternativa correta é: a) cos(4θ) + i sin(4θ).