Calcule \( \int_0^{\pi/2} \cos^5(x) \, dx \). a) \( \frac{5\pi}{16} \) b) \( \frac{1}{4} \) c) \( \frac{1}{8} \) d) \( \frac{3\pi}{16} \)

Para calcular a integral \( \int_0^{\pi/2} \cos^5(x) \, dx \), podemos usar a fórmula de redução para integrais de potências de cosseno. A fórmula é: \[ \int \cos^n(x) \, dx = \frac{\cos^{n-1}(x) \sin(x)}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}(x) \, dx \] Aplicando isso para \( n = 5 \): \[ \int \cos^5(x) \, dx = \frac{\cos^4(x) \sin(x)}{5} + \frac{4}{5} \int \cos^3(x) \, dx \] Agora, precisamos calcular \( \int \cos^3(x) \, dx \) da mesma forma: \[ \int \cos^3(x) \, dx = \frac{\cos^2(x) \sin(x)}{3} + \frac{2}{3} \int \cos(x) \, dx \] Sabemos que \( \int \cos(x) \, dx = \sin(x) \). Portanto, substituindo: \[ \int \cos^3(x) \, dx = \frac{\cos^2(x) \sin(x)}{3} + \frac{2}{3} \sin(x) \] Agora, substituímos isso de volta na integral de \( \cos^5(x) \): \[ \int \cos^5(x) \, dx = \frac{\cos^4(x) \sin(x)}{5} + \frac{4}{5} \left( \frac{\cos^2(x) \sin(x)}{3} + \frac{2}{3} \sin(x) \right) \] Agora, avaliamos a integral de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \): \[ \int_0^{\pi/2} \cos^5(x) \, dx = \left[ \frac{\cos^4(x) \sin(x)}{5} + \frac{4}{15} \cos^2(x) \sin(x) + \frac{8}{15} \sin(x) \right]_0^{\pi/2} \] No limite superior \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \) e \( \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \), então todos os termos se anulam. No limite inferior \( x = 0 \), \( \cos(0) = 1 \) e \( \sin(0) = 0 \), então também se anulam. Por fim, usando a fórmula de redução, podemos calcular que: \[ \int_0^{\pi/2} \cos^5(x) \, dx = \frac{8}{15} \] Porém, para a resposta correta entre as opções dadas, precisamos usar a relação: \[ \int_0^{\pi/2} \cos^n(x) \, dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2} \] Para \( n = 5 \): \[ \int_0^{\pi/2} \cos^5(x) \, dx = \frac{4!!}{5!!} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{8}{15} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{4\pi}{15} \] Por fim, a resposta correta é: Nenhuma das alternativas está correta. Entretanto, se você estiver buscando uma aproximação, a alternativa mais próxima seria a) \( \frac{5\pi}{16} \), mas não é a resposta exata.