Calcule \( \int_0^{\pi/2} \sin^7(x) \, dx \). a) \( \frac{7\pi}{16} \) b) \( \frac{3\pi}{16} \) c) \( \frac{5\pi}{16} \) d) \( \frac{1}{8} \)

Para calcular a integral \( \int_0^{\pi/2} \sin^7(x) \, dx \), podemos usar a fórmula da integral de potências de seno: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^n(x) \, dx = \frac{(n-1)!}{(n/2)!(n/2 + 1)!} \quad \text{se } n \text{ é ímpar.} \] Neste caso, \( n = 7 \). Portanto, aplicamos a fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7(x) \, dx = \frac{(7-1)!}{(7/2)!(7/2 + 1)!} = \frac{6!}{(3!)(4!)}. \] Calculando os fatoriais: - \( 6! = 720 \) - \( 3! = 6 \) - \( 4! = 24 \) Agora, substituímos na fórmula: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7(x) \, dx = \frac{720}{6 \cdot 24} = \frac{720}{144} = 5. \] Agora, precisamos multiplicar pelo fator que aparece na integral de seno, que é \( \frac{\pi}{2} \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^7(x) \, dx = \frac{5\pi}{16}. \] Portanto, a alternativa correta é: c) \( \frac{5\pi}{16} \).