Para encontrar a equação geral da hipérbole dada pelas equações paramétricas \( x = 4 + \sec(\theta) \) e \( y = 7 + 2\tan(\theta) \), precisamos eliminar o parâmetro \( \theta \). 1. A partir da equação \( x = 4 + \sec(\theta) \), podemos expressar \( \sec(\theta) \) como \( \sec(\theta) = x - 4 \). 2. Sabemos que \( \sec^2(\theta) = 1 + \tan^2(\theta) \). Portanto, \( \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta) - 1 = (x - 4)^2 - 1 \). 3. Agora, substituímos \( y \) na forma de \( \tan(\theta) \): \[ y - 7 = 2\tan(\theta) \implies \tan(\theta) = \frac{y - 7}{2} \] 4. Elevando ao quadrado, temos: \[ \tan^2(\theta) = \left(\frac{y - 7}{2}\right)^2 \] 5. Igualando as duas expressões para \( \tan^2(\theta) \): \[ \left(\frac{y - 7}{2}\right)^2 = (x - 4)^2 - 1 \] 6. Multiplicando por 4 para eliminar a fração: \[ (y - 7)^2 = 4((x - 4)^2 - 1) \] 7. Expandindo e rearranjando, obtemos a equação da hipérbole. Agora, vamos analisar as alternativas para ver qual delas corresponde à forma geral que encontramos. Após a análise, a alternativa correta que representa a hipérbole é: a. 7x² - 4y² - x + 2y + 19 = 0.