3. A função definida por f(x) = { 0, se x 6 0 x2 sen ( 1 x ) , se x > 0 é cont́ınua em x = 0? É diferenciável neste ponto?

Para verificar se a função \( f(x) \) é contínua em \( x = 0 \), precisamos checar se: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = f(0) \] Sabemos que \( f(0) = 0 \). Agora, vamos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \] Como \( \sin\left(\frac{1}{x}\right) \) oscila entre -1 e 1, temos: \[ -x^2 \leq x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) \leq x^2 \] Assim, pelo Teorema do Confronto: \[ \lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0 \] Portanto: \[ \lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0) \] Logo, \( f(x) \) é contínua em \( x = 0 \). Agora, para verificar se \( f(x) \) é diferenciável em \( x = 0 \), precisamos calcular a derivada: \[ f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \] Novamente, como \( \sin\left(\frac{1}{h}\right) \) oscila entre -1 e 1, temos: \[ -h \leq h \sin\left(\frac{1}{h}\right) \leq h \] Assim, pelo Teorema do Confronto: \[ \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0 \] Portanto, \( f'(0) = 0 \). Em resumo, a função \( f(x) \) é contínua e diferenciável em \( x = 0 \).