Para encontrar o valor de \(\sin(2\theta)\) dado que \(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\), podemos usar a fórmula do ângulo duplo: \[ \sin(2\theta) = 2 \sin(\theta) \cos(\theta) \] Sabemos que \(\sin(\theta) = \frac{1}{3}\). Agora, precisamos encontrar \(\cos(\theta)\). Usamos a identidade fundamental: \[ \sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \] Substituindo \(\sin(\theta)\): \[ \left(\frac{1}{3}\right)^2 + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2(\theta) = 1 \] \[ \cos^2(\theta) = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] Portanto, \(\cos(\theta) = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\) (considerando o valor positivo, já que não temos informação sobre o quadrante). Agora, substituímos \(\sin(\theta)\) e \(\cos(\theta)\) na fórmula de \(\sin(2\theta)\): \[ \sin(2\theta) = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9} \] Analisando as alternativas, a resposta correta é: d) \(\frac{4\sqrt{2}}{9}\)