Encontre o valor de \(\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx\). A) \(\pi\) B) \(\pi\) C) \(2\) D) \(0\)

Para resolver a integral \(\int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx\), podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir: - \(u = x\) \(\Rightarrow du = dx\) - \(dv = \sin(x) dx\) \(\Rightarrow v = -\cos(x)\) Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Substituindo, obtemos: \[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \left[-x \cos(x)\right]_0^{\pi} + \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx \] Calculando o primeiro termo: \[ \left[-x \cos(x)\right]_0^{\pi} = -\pi \cos(\pi) - (0 \cdot \cos(0)) = -\pi(-1) - 0 = \pi \] Agora, calculamos a integral \(\int_0^{\pi} \cos(x) \, dx\): \[ \int_0^{\pi} \cos(x) \, dx = [\sin(x)]_0^{\pi} = \sin(\pi) - \sin(0) = 0 - 0 = 0 \] Portanto, a integral original se torna: \[ \int_0^{\pi} x \sin(x) \, dx = \pi + 0 = \pi \] Assim, a resposta correta é: A) \(\pi\)