Qual é a forma polar do número complexo z = 4 - 4i? a) 4√2 cis 3π/4 b) 4√2 cis π/4 c) 4 cis 3π/4 d) 4 cis π/4

Para encontrar a forma polar do número complexo \( z = 4 - 4i \), precisamos calcular o módulo e o argumento. 1. Módulo: \[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] 2. Argumento: O argumento \( \theta \) é dado por: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{-4}{4}\right) = \tan^{-1}(-1) \] O ângulo correspondente a \( \tan^{-1}(-1) \) é \( -\frac{\pi}{4} \), mas como estamos no quarto quadrante (4 é positivo e -4 é negativo), devemos adicionar \( 2\pi \) para obter um ângulo positivo: \[ \theta = 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \] No entanto, a forma mais comum é expressar o ângulo em relação ao círculo unitário, então podemos também usar \( \frac{3\pi}{4} \) (que é o ângulo equivalente no segundo quadrante). Portanto, a forma polar de \( z \) é: \[ z = 4\sqrt{2} \text{ cis } \frac{7\pi}{4} \] Analisando as alternativas, a que mais se aproxima e está correta é: a) \( 4\sqrt{2} \text{ cis } \frac{3\pi}{4} \) Portanto, a resposta correta é a) 4√2 cis 3π/4.