Grátis: Problema 52: Determine a integral \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx. A) \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^2) + C B) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C C) \frac{1}{3}...

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Problema 52: Determine a integral \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx.

A) \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^2) + C
B) \frac{1}{2} \tan^{-1}(x^2) + C
C) \frac{1}{3} \tan^{-1}(x^2) + C
D) \frac{1}{x^2} + C

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Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx\), podemos usar a substituição e a decomposição em frações parciais. A integral \(\int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx\) é uma integral que pode ser resolvida utilizando a função arco-tangente. A integral \(\int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx\) resulta em uma expressão que envolve a função \(\tan^{-1}(x^2)\). Após a resolução, encontramos que a integral é dada por: \[ \int \frac{1}{x^4 + 1} \, dx = \frac{1}{4} \tan^{-1}(x^2) + C \] Portanto, a alternativa correta é: A) \(\frac{1}{4} \tan^{-1}(x^2) + C\)

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Problema 49: Resolva a equação diferencial y' = 2y.

A) y = Ce^{2x}
B) y = Ce^{-2x}
C) y = \frac{1}{C + e^{2x}}
D) y = Ce^{x}

Problema 50: Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}.

A) 6
B) 0
C) 1
D) Não existe

Problema 51: Calcule a integral \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx.

A) \frac{11}{12}
B) \frac{5}{12}
C) \frac{1}{2}
D) \frac{7}{12}

Problema 53: Calcule o limite \lim_{x \to \infty} \frac{8x^2 + 3}{5x^2 + 1}.

A) \frac{8}{5}
B) 0
C) 1
D) \frac{3}{5}

Problema 54: Resolva a equação y' + 4y = e^{-x}.

A) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{5} e^{-x}
B) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{4} e^{-x}
C) y = Ce^{-4x} + e^{-x}
D) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{3} e^{-x}

Problema 55: Calcule a integral \int_0^1 (6x^4 - 5x^3 + 4x^2) \, dx.

A) \frac{1}{5}
B) \frac{7}{15}
C) \frac{1}{3}
D) \frac{2}{15}

Problema 56: Determine a derivada da função f(x) = \ln(x^4 + 1).

A) \frac{4x^3}{x^4 + 1}
B) \frac{1}{x^4 + 1}
C) \frac{4}{x^4 + 1}
D) \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}

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A) y = Ce^{2x}
B) y = Ce^{-2x}
C) y = \frac{1}{C + e^{2x}}
D) y = Ce^{x}

Problema 50: Calcule o limite \lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}.

A) 6
B) 0
C) 1
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Problema 51: Calcule a integral \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx.

A) \frac{11}{12}
B) \frac{5}{12}
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D) \frac{7}{12}

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A) \frac{8}{5}
B) 0
C) 1
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Problema 54: Resolva a equação y' + 4y = e^{-x}.

A) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{5} e^{-x}
B) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{4} e^{-x}
C) y = Ce^{-4x} + e^{-x}
D) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{3} e^{-x}

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Problema 56: Determine a derivada da função f(x) = \ln(x^4 + 1).

A) \frac{4x^3}{x^4 + 1}
B) \frac{1}{x^4 + 1}
C) \frac{4}{x^4 + 1}
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Problema 57: Resolva a equação diferencial y' = 3y^2.

A) y = \frac{1}{C - 3x}
B) y = Ce^{3x}
C) y = \frac{C}{1 - 3Cx}
D) y = C + 3x

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Problema 54: Resolva a equação y' + 4y = e^{-x}.

A) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{5} e^{-x}
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D) y = Ce^{-4x} + \frac{1}{3} e^{-x}

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B) \frac{7}{15}
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A) \frac{4x^3}{x^4 + 1}
B) \frac{1}{x^4 + 1}
C) \frac{4}{x^4 + 1}
D) \frac{4x^3}{(x^4 + 1)^2}

Problema 57: Resolva a equação diferencial y' = 3y^2.

A) y = \frac{1}{C - 3x}
B) y = Ce^{3x}
C) y = \frac{C}{1 - 3Cx}
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