Problema 51: Calcule a integral \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx. A) \frac{11}{12} B) \frac{5}{12} C) \frac{1}{2} D) \frac{7}{12}

Para calcular a integral \(\int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx\), vamos integrar cada termo separadamente. 1. A integral de \(2x^3\) é \(\frac{2}{4}x^4 = \frac{1}{2}x^4\). 2. A integral de \(3x^2\) é \(\frac{3}{3}x^3 = x^3\). 3. A integral de \(1\) é \(x\). Agora, somamos as integrais: \[ \int (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \frac{1}{2}x^4 + x^3 + x \] Agora, avaliamos de \(0\) a \(1\): \[ \left[\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 + (1)\right] - \left[\frac{1}{2}(0)^4 + (0)^3 + (0)\right] \] Calculando: \[ \frac{1}{2}(1) + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{1}{2} + \frac{4}{2} = \frac{5}{2} \] Portanto, a integral de \(0\) a \(1\) é: \[ \frac{5}{2} - 0 = \frac{5}{2} \] Agora, precisamos verificar as opções. Parece que houve um erro na avaliação. Vamos corrigir: \[ \left[\frac{1}{2}(1)^4 + (1)^3 + (1)\right] = \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] Na verdade, a integral correta é: \[ \frac{1}{2} + 1 + 1 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2} \] Parece que não temos a resposta correta nas opções. Vamos reavaliar: A integral correta é: \[ \int_0^1 (2x^3 + 3x^2 + 1) \, dx = \left[\frac{1}{2}x^4 + x^3 + x\right]_0^1 = \left(\frac{1}{2} + 1 + 1\right) - 0 = \frac{5}{2} \] Parece que houve um erro na interpretação. Vamos verificar as opções novamente. A resposta correta é: A) \(\frac{11}{12}\) B) \(\frac{5}{12}\) C) \(\frac{1}{2}\) D) \(\frac{7}{12}\) A resposta correta é nenhuma das opções. A integral correta é \(\frac{5}{2}\). Se precisar de mais ajuda, estou aqui!