Determine o valor de k real sabendo que o módulo do vetor vale o módulo do vetor mais 2 unidades. 2 →u (k, 10, 6) →v(−5, 0, 12) 21 55 77 89 70

Para resolver a questão, precisamos entender que o módulo de um vetor \(\vec{u} = (k, 10, 6)\) é dado pela fórmula: \[ ||\vec{u}|| = \sqrt{k^2 + 10^2 + 6^2} = \sqrt{k^2 + 100 + 36} = \sqrt{k^2 + 136} \] O módulo do vetor \(\vec{v} = (-5, 0, 12)\) é: \[ ||\vec{v}|| = \sqrt{(-5)^2 + 0^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 0 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] A condição dada é que o módulo do vetor \(\vec{u}\) vale o módulo do vetor \(\vec{v}\) mais 2 unidades: \[ ||\vec{u}|| = ||\vec{v}|| + 2 \] Substituindo os valores: \[ \sqrt{k^2 + 136} = 13 + 2 \] \[ \sqrt{k^2 + 136} = 15 \] Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado: \[ k^2 + 136 = 15^2 \] \[ k^2 + 136 = 225 \] Subtraindo 136 de ambos os lados: \[ k^2 = 225 - 136 \] \[ k^2 = 89 \] Agora, tiramos a raiz quadrada: \[ k = \pm \sqrt{89} \] Portanto, os valores de \(k\) são \(k = \sqrt{89}\) ou \(k = -\sqrt{89}\).