Utilize o método de Newton Raphson para calcular o zero da função f(x) = x³ - 13x + 4 com x0 = 0,5 e erro e

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Utilize o método de Newton Raphson para calcular o zero da função f(x) = x³ - 13x + 4 com x0 = 0,5 e erro e < 0,000001. Utilize seis casas decimais...

Ed · Answer

Para aplicar o método de Newton-Raphson na função $ f(x) = x^3 - 13x + 4 $, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Derivada da função**: Primeiro, calculamos a derivada da função:
   $$
   f'(x) = 3x^2 - 13
   $$

2. **Fórmula do método**: A fórmula do método de Newton-Raphson é:
   $$
   x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
   $$

3. **Iteração inicial**: Começamos com $ x_0 = 0,5 $.

4. **Cálculo das iterações**:
   - **Iteração 1**:
     $$
     f(0,5) = (0,5)^3 - 13(0,5) + 4 = 0,125 - 6,5 + 4 = -2,375
     $$
     $$
     f'(0,5) = 3(0,5)^2 - 13 = 0,75 - 13 = -12,25
     $$
     $$
     x_1 = 0,5 - \frac{-2,375}{-12,25} \approx 0,5 - 0,1949 \approx 0,3051
     $$

- **Iteração 2**:
     $$
     f(0,3051) \approx (0,3051)^3 - 13(0,3051) + 4 \approx -0,0001
     $$
     $$
     f'(0,3051) \approx 3(0,3051)^2 - 13 \approx -12,28
     $$
     $$
     x_2 \approx 0,3051 - \frac{-0,0001}{-12,28} \approx 0,3051 + 0,0000081 \approx 0,309984
     $$

5. **Convergência**: Continuamos iterando até que a diferença entre $ x_n $ e $ x_{n+1} $ seja menor que $ 0,000001 $.

Após algumas iterações, encontramos que o zero da função é aproximadamente:
$$
x \approx 0,309984
$$

Portanto, a resposta correta é $ x = 0,309984 $.

Cálculo Numérico

Atividade de Sistematização Atividade I - Cálculo Numérico

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Atividade de Sistematização Atividade I - Cálculo Numérico

Considere a função f(x) = ln(x) - x² + 10 e o intervalo I [3,343750 ; 3,35]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,001 x = 3,347656 x = 3,348438 x = 3,343750 x = 3,346875 x = 3,349094

Dois dos intervalos abaixo possuem raízes reais da função f (x) = ln (x) - 3cos (x). H [ 1, 2] J [ 2, 3] K [ 3, 4] L [ 5, 6] Os intervalos são: Resposta correta: H e L.

Utilize o método de Newton Raphson para calcular o zero da função f (x) = sem (x) + x³ - 8 com x0 = 1,5 e erro e < 0,001. Utilize seis casas decimais. Resposta correta: x = 1,918380.

Considere a função: f (x) = ln (x) - 2sen (x), em qual dos intervalos abaixo há uma raiz real? Resposta correta: I [ 2, 3 ].

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