Determine a integral indefinida de \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx \). Resposta: \( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C \).

Para resolver a integral indefinida \( \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx \), podemos usar a substituição. 1. Substituição: Seja \( u = x^2 + 1 \). Então, \( du = 2x \, dx \) ou \( \frac{du}{2} = x \, dx \). 2. Reescrevendo a integral: A integral se torna: \[ \int \frac{x}{(x^2 + 1)^2} \, dx = \int \frac{1}{u^2} \cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2} \int u^{-2} \, du. \] 3. Integrando: A integral de \( u^{-2} \) é \( -u^{-1} \), então: \[ \frac{1}{2} \int u^{-2} \, du = -\frac{1}{2u} + C. \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \( u \) de volta: \[ -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C. \] Portanto, a resposta está correta: \( -\frac{1}{2(x^2 + 1)} + C \).