Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx \). \( \frac{1}{2} \arctan(e^{2x}) + C \).

Para calcular a integral indefinida \( \int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx \), podemos usar a substituição. Vamos fazer a substituição \( u = e^{2x} \). Assim, temos que \( du = 2e^{2x} \, dx \) ou \( dx = \frac{du}{2u} \). Substituindo na integral, temos: \[ \int \frac{e^{2x}}{e^{4x} + 1} \, dx = \int \frac{u}{u^2 + 1} \cdot \frac{du}{2u} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \] A integral \( \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du \) é conhecida e resulta em \( \arctan(u) + C \). Portanto, temos: \[ \frac{1}{2} \arctan(u) + C = \frac{1}{2} \arctan(e^{2x}) + C \] Assim, a resposta correta é: \(\frac{1}{2} \arctan(e^{2x}) + C\).