Para resolver a integral indefinida \( \int (3 + 7z^2)^9 \cdot 5z \, dz \) usando a substituição \( u = 3 + 7z^2 \), precisamos seguir os passos da substituição. 1. Substituição: Se \( u = 3 + 7z^2 \), então a derivada \( du = 14z \, dz \) ou \( dz = \frac{du}{14z} \). 2. Reescrevendo a integral: A integral se torna \( \int u^9 \cdot 5z \cdot \frac{du}{14z} = \int \frac{5}{14} u^9 \, du \). 3. Integrando: A integral de \( u^9 \) é \( \frac{u^{10}}{10} \), então temos: \[ \frac{5}{14} \cdot \frac{u^{10}}{10} = \frac{5}{140} u^{10} = \frac{1}{28} u^{10} + C \] 4. Voltando à variável original: Substituindo \( u \) de volta, temos: \[ \frac{1}{28} (3 + 7z^2)^{10} + C \] Agora, vamos analisar as alternativas: A) \( 5(3 + 7z^2)^{40} \) - Não é a resposta correta. B) (não fornecida) - Não podemos avaliar. C) \( (7 + 3z^2)^8 + 0 \) - Não é a resposta correta. D) 0 - Não é a resposta correta. E) \( (7 + 5z^2) + C \) - Não é a resposta correta. Nenhuma das alternativas apresentadas parece corresponder à solução correta da integral. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode precisar revisar as alternativas ou verificar se há um erro na formulação da questão.