Para mostrar que a série \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n\) diverge, vamos analisar os termos da sequência \(a_n\): 1. Definição dos termos: - Para \(n = 2k\) (termos pares): \(a_{2k} = \frac{1}{k}\) - Para \(n = 2k-1\) (termos ímpares): \(a_{2k-1} = \frac{1}{k^2}\) 2. Comportamento dos termos: - Os termos \(a_{2k} = \frac{1}{k}\) não convergem para zero, pois \(\lim_{k \to \infty} a_{2k} = 0\). - Os termos \(a_{2k-1} = \frac{1}{k^2}\) convergem para zero, pois \(\lim_{k \to \infty} a_{2k-1} = 0\). 3. Análise da série: - A série alternada \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n\) não atende ao critério de Leibniz, que exige que os termos \(a_n\) sejam decrescentes e que \(\lim_{n \to \infty} a_n = 0\). - Como \(a_{2k} = \frac{1}{k}\) não converge para zero, a série diverge. 4. Conclusão: - A série \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} a_n\) diverge porque os termos não convergem para zero. - Não se pode usar o Critério de Leibniz porque os termos não são decrescentes e não convergem para zero. Portanto, a série diverge e o critério não é aplicável.