Para mostrar que a função Gama \( \Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha - 1} e^{-t} dt \) está bem definida para \( \alpha > 0 \), precisamos verificar a convergência da integral. 1. Comportamento para \( t \to 0 \): - Quando \( t \) se aproxima de 0, temos \( t^{\alpha - 1} \) que se comporta como \( t^{\alpha - 1} \). Para \( \alpha > 0 \), isso se aproxima de 0, e a função \( e^{-t} \) se aproxima de 1. Portanto, a integral se comporta como: \[ \int_0^\epsilon t^{\alpha - 1} dt \] que converge, pois \( \alpha - 1 > -1 \) implica que a integral é finita. 2. Comportamento para \( t \to \infty \): - Quando \( t \) se aproxima de \( \infty \), \( e^{-t} \) decai rapidamente para 0. Assim, a função \( t^{\alpha - 1} e^{-t} \) também se aproxima de 0 rapidamente. A integral se comporta como: \[ \int_M^\infty e^{-t} dt \] que também converge. Portanto, a integral \( \Gamma(\alpha) \) está bem definida para \( \alpha > 0 \). Para a parte b), a relação \( \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \) pode ser demonstrada usando a integração por partes. 1. Integração por partes: - Seja \( u = t^{\alpha} \) e \( dv = e^{-t} dt \). Então, \( du = \alpha t^{\alpha - 1} dt \) e \( v = -e^{-t} \). - Aplicando a integração por partes, obtemos: \[ \Gamma(\alpha + 1) = \int_0^\infty t^{\alpha} e^{-t} dt = \left[-t^{\alpha} e^{-t}\right]_0^\infty + \alpha \int_0^\infty t^{\alpha - 1} e^{-t} dt \] - O primeiro termo se anula, e ficamos com: \[ \Gamma(\alpha + 1) = \alpha \Gamma(\alpha) \] 2. Conclusão sobre \( \Gamma(n + 1) = n! \): - Usando a relação \( \Gamma(n + 1) = n \Gamma(n) \) e a base \( \Gamma(1) = 1 \), podemos mostrar por indução que \( \Gamma(n + 1) = n! \) para todo \( n \in \mathbb{N} \). Assim, a função Gama está bem definida e as propriedades foram demonstradas.