Uma empresa produz dois tipos de produtos, A e B, com lucro de R$ 8,00 por unidade, respectivamente. Sabendo que a produção de A demanda 2 horas de trabalho e 1 hora de máquina, enquanto a produção de B demanda 1 hora de trabalho e 2 horas de máquina, e que a empresa tem disponíveis 100 horas de trabalho e 80 horas de máquina, qual a quantidade de cada produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro?
35 unidades de A e 25 unidades de B
20 unidades de A e 40 unidades de B
40 unidades de A e 20 unidades de B
25 unidades de A e 35 unidades de B
30 unidades de A e 25 unidades de B

Question

Uma empresa produz dois tipos de produtos, A e B, com lucro de R$ 8,00 por unidade, respectivamente. Sabendo que a produção de A demanda 2 horas de...

Ed · Answer

Para resolver essa questão, precisamos formular um problema de programação linear. Vamos definir as variáveis:

- $ x $: quantidade de produtos A
- $ y $: quantidade de produtos B

O lucro total $ Z $ que queremos maximizar é dado por:
$$ Z = 8x + 8y $$

As restrições são baseadas nas horas de trabalho e de máquina disponíveis:

1. Para horas de trabalho: 
$$ 2x + 1y \leq 100 $$
2. Para horas de máquina:
$$ 1x + 2y \leq 80 $$

Agora, vamos analisar as opções dadas para ver qual combinação de $ x $ e $ y $ satisfaz as restrições e maximiza o lucro.

1. **35 unidades de A e 25 unidades de B**:
   - Trabalho: $ 2(35) + 1(25) = 70 + 25 = 95 $ (ok)
   - Máquina: $ 1(35) + 2(25) = 35 + 50 = 85 $ (não ok)

2. **20 unidades de A e 40 unidades de B**:
   - Trabalho: $ 2(20) + 1(40) = 40 + 40 = 80 $ (ok)
   - Máquina: $ 1(20) + 2(40) = 20 + 80 = 100 $ (não ok)

3. **40 unidades de A e 20 unidades de B**:
   - Trabalho: $ 2(40) + 1(20) = 80 + 20 = 100 $ (ok)
   - Máquina: $ 1(40) + 2(20) = 40 + 40 = 80 $ (ok)

4. **25 unidades de A e 35 unidades de B**:
   - Trabalho: $ 2(25) + 1(35) = 50 + 35 = 85 $ (ok)
   - Máquina: $ 1(25) + 2(35) = 25 + 70 = 95 $ (não ok)

5. **30 unidades de A e 25 unidades de B**:
   - Trabalho: $ 2(30) + 1(25) = 60 + 25 = 85 $ (ok)
   - Máquina: $ 1(30) + 2(25) = 30 + 50 = 80 $ (ok)

Agora, vamos calcular o lucro para as opções que estão dentro das restrições:

- Para **40 unidades de A e 20 unidades de B**:
  $$ Z = 8(40) + 8(20) = 320 + 160 = 480 $$

- Para **30 unidades de A e 25 unidades de B**:
  $$ Z = 8(30) + 8(25) = 240 + 200 = 440 $$

Portanto, a combinação que maximiza o lucro, respeitando as restrições, é **40 unidades de A e 20 unidades de B**.

A resposta correta é: **40 unidades de A e 20 unidades de B**.

Ed · Answer

Para resolver esse problema de programação linear, é necessário utilizar o método Simplex ou gráficos, por exemplo. Vamos analisar as restrições e a função objetivo para encontrar a solução ótima.

Dado que o lucro por unidade de A é R$ 8,00 e de B também é R$ 8,00, a função objetivo é maximizar o lucro total, que pode ser representado por Z = 8A + 8B.

As restrições são:
- 2A + B ≤ 100 (horas de trabalho disponíveis)
- A + 2B ≤ 80 (horas de máquina disponíveis)

Analisando as opções:
1. 35 unidades de A e 25 unidades de B: 2(35) + 25 = 95 horas de trabalho, 35 + 2(25) = 85 horas de máquina. Não atende às restrições.
2. 20 unidades de A e 40 unidades de B: 2(20) + 40 = 80 horas de trabalho, 20 + 2(40) = 100 horas de máquina. Atende às restrições.
3. 40 unidades de A e 20 unidades de B: 2(40) + 20 = 100 horas de trabalho, 40 + 2(20) = 80 horas de máquina. Atende às restrições.
4. 25 unidades de A e 35 unidades de B: 2(25) + 35 = 85 horas de trabalho, 25 + 2(35) = 95 horas de máquina. Não atende às restrições.
5. 30 unidades de A e 25 unidades de B: 2(30) + 25 = 85 horas de trabalho, 30 + 2(25) = 80 horas de máquina. Atende às restrições.

Portanto, a quantidade de cada produto que a empresa deve produzir para maximizar o lucro é 30 unidades de A e 25 unidades de B.

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