86. O que é a derivada de f(x) = tan^-1(x)? A) 1/(1 + x^2) B) 1/(1 - x^2) C) -1/(1 + x^2) D) 1/x

Para encontrar a derivada da função f(x) = tan^-1(x), é importante lembrar da regra da derivada da função inversa, que é dada por: Se y = f^-1(x), então (f^-1)'(x) = 1 / f'(f^-1(x)) Neste caso, f(x) = tan^-1(x), que é a função inversa da tangente. A derivada da tangente é dada por: d/dx(tan(x)) = 1 / (cos^2(x)) Portanto, para encontrar a derivada de f(x) = tan^-1(x), precisamos substituir na fórmula da derivada da função inversa: (f^-1)'(x) = 1 / (1 / (cos^2(tan^-1(x)))) (f^-1)'(x) = cos^2(tan^-1(x)) Como sabemos que cos(tan^-1(x)) = 1 / (1 + x^2), temos: (f^-1)'(x) = (1 / (1 + x^2))^2 (f^-1)'(x) = 1 / (1 + x^2)^2 Portanto, a derivada de f(x) = tan^-1(x) é igual a 1 / (1 + x^2)^2. A alternativa correta é: A) 1/(1 + x^2)