Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre a transformação \( T: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) definida por \( T(x,y,z) = (x,y,0) \): I. \( T \) é uma transformação linear. Para que \( T \) seja linear, deve satisfazer duas propriedades: aditividade e homogeneidade. - Aditividade: \( T(u + v) = T(u) + T(v) \) para \( u, v \in \mathbb{R}^3 \). - Homogeneidade: \( T(cu) = cT(u) \) para \( c \in \mathbb{R} \) e \( u \in \mathbb{R}^3 \). Ambas as propriedades são satisfeitas, portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). II. O núcleo de \( T \) é \( N(T) = \{(0,0,z); z \in \mathbb{R}\} \). O núcleo de \( T \) é o conjunto de vetores \( (x,y,z) \) tal que \( T(x,y,z) = (0,0,0) \). Isso ocorre quando \( (x,y,0) = (0,0,0) \), ou seja, \( x = 0 \) e \( y = 0 \), mas \( z \) pode ser qualquer número real. Portanto, o núcleo é \( N(T) = \{(0,0,z); z \in \mathbb{R}\} \), o que torna essa afirmativa verdadeira (V). III. O conjunto imagem de \( T \) satisfaz \( \text{dim(Im(T))} = 2 \). A imagem de \( T \) é o conjunto de todos os vetores da forma \( (x,y,0) \), que é um plano no espaço \( \mathbb{R}^3 \) (o plano \( z = 0 \)). A dimensão desse plano é 2. Portanto, essa afirmativa é verdadeira (V). Com isso, temos a sequência: V, V, V. A alternativa correta é: a) V, V, V.