Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \), vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos uma função na forma \( \frac{u}{v} \), onde \( u = x \) e \( v = \sqrt{1 + x^2} \), a derivada é dada por: \[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] 1. Calcule \( u' \): - \( u = x \) então \( u' = 1 \). 2. Calcule \( v' \): - \( v = (1 + x^2)^{1/2} \) - Usando a regra da cadeia, \( v' = \frac{1}{2}(1 + x^2)^{-1/2} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \). 3. Substitua na fórmula da regra do quociente: \[ f'(x) = \frac{(1)(\sqrt{1 + x^2}) - (x)(\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}})}{(1 + x^2)} \] 4. Simplifique: \[ f'(x) = \frac{\sqrt{1 + x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 + x^2}}}{1 + x^2} \] \[ = \frac{(1 + x^2) - x^2}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}} = \frac{1}{(1 + x^2)\sqrt{1 + x^2}} \] 5. Resultado final: \[ f'(x) = \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}} \] Portanto, a derivada da função \( f(x) = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) é \( f'(x) = \frac{1}{(1 + x^2)^{3/2}} \).