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O arremesso de peso é uma modalidade de esporte tradicional nos jogos olímpicos e em competições esportivas mundiais. A equipe de treinamento de um atleta, para melhorar seu desempenho, analisou a trajetória de dois arremessos de peso, elaborando um esquema no plano cartesiano de modo que o primeiro peso percorreu o gráfico da função do segundo grau p(x), partindo do ponto de coordenadas (0, 0), atingindo altura máxima de 6 m e encontrando o solo no ponto (10, 0). O segundo peso percorreu o gráfico da função do segundo grau q(x), partindo do ponto (2, 0), passando pelo ponto em que o primeiro peso atingiu sua altura máxima, atingindo o solo no ponto (15, 0). Nessas condições, a função do segundo grau cujo gráfico descreve a trajetória do segundo peso é expressa por
A) q(x) = - x²/5 - 17x/5 - 6.
B) q(x) = - x²/5 + 17x/5 - 6.
C) q(x) = - 6x² + 102x - 180.
D) q(x) = - 6x² - 102x - 180.
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Matematicamente

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Problemas de Funções Matemáticas
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Problemas de Funções Matemáticas

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Para determinar a função do segundo grau que descreve a trajetória do segundo peso, podemos usar as informações fornecidas sobre os pontos pelos quais o peso passa. Sabemos que a função do segundo grau tem a forma geral \( q(x) = ax^2 + bx + c \). Dadas as coordenadas dos pontos (2, 0) e (15, 0) pelos quais o segundo peso passa, podemos montar um sistema de equações para encontrar os coeficientes a, b e c. Substituindo as coordenadas (2, 0) na equação, obtemos: \[ 0 = a(2)^2 + b(2) + c \] \[ 0 = 4a + 2b + c \] -> (Equação 1) Substituindo as coordenadas (15, 0) na equação, obtemos: \[ 0 = a(15)^2 + b(15) + c \] \[ 0 = 225a + 15b + c \] -> (Equação 2) Além disso, sabemos que a função atinge a altura máxima de 6m, então o vértice da parábola está em (10, 6). O eixo de simetria de uma parábola é dado por \( x = -b / 2a \). Neste caso, o eixo de simetria é x = 10. Substituindo x = 10 na equação da função q(x), obtemos: \[ q(10) = a(10)^2 + b(10) + c = 6 \] \[ 100a + 10b + c = 6 \] -> (Equação 3) Agora, podemos resolver esse sistema de equações para encontrar a função correta. Vamos analisar cada alternativa: A) \( q(x) = - x^2/5 - 17x/5 - 6 \) B) \( q(x) = - x^2/5 + 17x/5 - 6 \) C) \( q(x) = - 6x^2 + 102x - 180 \) D) \( q(x) = - 6x^2 - 102x - 180 \) Analisando as equações, a alternativa correta é a letra C) \( q(x) = - 6x^2 + 102x - 180 \).

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1. Encontre o valor de f(x) = x² + 3x – 10 para que f(x) = 0

2. Calcule o valor de 5x² + 15x = 0 para que f(x) = 0

3. O valor máximo da função f : IR → IR definida por f(x) = –x2 + 6x + 7 é:
A) 7 B) 6 C) 3 D) 16 E) 54

4. Seja a função f, de IR em IR, definida por f(x) = –x2 – 8x + 12. Essa função não pode assumir valores maiores que:
A) 20 B) 22 C) 24 D) 26 E) 28

5. Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela equação h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. Determine, após o chute:
a) o instante em que a bola retornará ao solo.
b) a altura atingida pela bola.

6. Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorrendo uma trajetória descrita por y = –2x2 +12x, em que y é a altura, dada em m. A altura máxima atingida pela bola é de:
A) 36 m B) 18 m C) 12 m D) 6 m E) 3 m

7. A função real cujo gráfico está representado a seguir é
A) x² - 7x + 10 B) -x² + 7x – 10 C) -x² + 7x + 10
D) x² - 7x – 10 E) -x² - 7x + 10

8. Laura é geóloga e está fazendo pesquisa numa caverna cuja entrada tem o formato de uma parábola invertida. Essa entrada, no nível do chão, tem 2m de largura e seu ponto mais alto está a 2,5m do chão. Para realizar sua pesquisa, ela precisa entrar na caverna com um equipamento guardado em uma caixa de 1m de largura. Qual é a altura máxima, em metros, que a caixa pode ter para passar pela entrada da caverna?
A) 11/8. B) 13/8. C) 15/8. D) 17/8.

9. Sobre uma certa função ƒ(x) = x2 + p ⋅ x + q, sabe-se que ƒ(1) = 0 e ƒ(−1) = 4. O valor de ƒ(10) é
A) 100. B) 81. C) 64. D) 49.

10. A produção diária de uma indústria farmacêutica varia de acordo com o número de funcionários em serviço e é definida pela função F(x) = – x² + 36x + 30.000, sendo F(x) a quantidade de comprimidos produzidos diariamente e x o número de funcionários em serviço neste dia, com 1 < x < 21. O número máximo de comprimidos que essa indústria pode produzir diariamente e o número de funcionários em serviço para que isso aconteça são, respectivamente:
A) 30.320 e 20. B) 30.324 e 18. C) 30.972 e 18. D) 31.120 e 20.

11. A figura representa o gráfico de y= ax2 + bx + c. Assinale a alternativa correta.
A) a > 0, b < 0 e c = 0 B) a > 0, b > 0 e c = 0
C) a > 0, b = 0 e c > 0 D) a> 0, b = 0 e c < 0
E) a > 0, b = 0 e c = 0

12. Suponha que, em uma loja de peças de motos, a função que representa o lucro L(x), em reais, é dada por L(X) = – x² +302x –20200 na qual x é o número de peças. O lucro máximo que essa loja pode obter em é
A) R$ 151,00 B) R$ 302,00 C) R$ 2601,00 D) R$ 5202,00
E) R$ 10404,00

13. A figura a seguir traz a representação gráfica de cinco retângulos e de parte da parábola y = 0,2x2 + k, na qual k é um número real. Se a soma das medidas das áreas dos retângulos é igual a 14, então qual o valor de k?
A) 1/2 B) 11/20 C) 3/5 D) 13/20 E) 7/10

14. Os gráficos das funções f(x) = ax2 + bx − a e g(x) = cx + a com a, c ≠ 0 se interceptam nos pontos (−2,0) e (1,3). As raízes da função f(x) são
A) −2 e 1/2 B) −2 e −1 C) − 1/2 e 2 D) 1 e 2 E) −2 e 1

15. O gráfico da função f(x) = x³ - 4x² +3 é apresentado a seguir. A partir da leitura do gráfico, podemos afirmar que o valor da soma das raízes dessa função pertence ao intervalo
A) [−3,5 , −1]. B) [1, 3]. C) [3,5 , 5]. D) [5, 6 ].

16. No sistema usual de coordenadas cartesianas, o gráfico da função quadrática f é simétrico em relação ao eixo das ordenadas. Se o valor máximo que f assume é igual a 16 e se a distância entre os pontos de cruzamento do gráfico de f com o eixo das abscissas é igual a 8, então a expressão algébrica da função f é
A) f(x) = –x2 + 4x + 16. B) f(x) = –2x2 +2x + 16.
C) f(x) = –x2 + 16. D) f(x) = –2x2 + 16.

17. O goleiro de um time de futebol deu um chute, e a bola realizou uma trajetória que pode ser modelada pela expressão S(t) = at2 + bt + c, sendo S a altura alcançada pela bola e medida em metros (m) e t o tempo medido em segundos (s). Se S(3) = S(6), então a bola atingiu sua altura máxima em
A) 6,0 s B) 5,5 s C) 4,5 s D) 4,0 s

18. A trajetória, em um plano, de um projétil lançado do solo fazendo um ângulo α, 00 < α < 900 , com a direção horizontal é uma parábola. Se a trajetória de um determinado projétil pode ser descrita matematicamente pela equação y = 0,2 x – 0,000625 x2, na qual y indica a altura, em unidades de comprimento (u.c.), alcançada pelo projétil desde seu lançamento até o ponto de retorno ao solo, pode-se afirmar corretamente que a altura máxima atingida pelo projétil, em u.c., é igual
A) 16. B) 32. C) 22. D) 28.

19. Uma praça retangular tem 120 metros de perímetro. Denotando-se por x a medida, em metros, de um de seus lados, a área A(x) dessa praça é expressa, em metros quadrados, por:
A) A(x) = 60x - x2, 0 < x < 60
B) A(x) = 120x - x2, 0 < x < 120
C) A(x) = 30x - x2, 0 < x < 30
D) A(x) = 40x - x2, 0 < x < 40

20. Em um plano, com o sistema usual de coordenadas cartesianas, o gráfico da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c é a parábola que contém os pontos (0, 9), (2, –5) e (5, 4). Se V(u, v) é o vértice desta parábola, então, a soma u + v é igual a
A) – 23/8 B) – 23/4 C) – 27/8 D) – 27/4

21. Os gráficos das funções f(x) = –x2 + 5 e g(x) = –2x + 5 estão representados em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Os pontos V e P são comuns aos dois gráficos, pertencendo V ao eixo das ordenadas, conforme mostra a figura. Nessas condições:

De acordo com o teorema fundamental da álgebra, quando resolvida em , a equação algébrica x4 – 3x3 + 2x2 – 6x = 0 possui quatro raízes. A respeito dessas raízes, pode-se afirmar que
A) duas são números irracionais e duas são números racionais positivos.
B) duas são números irracionais, uma é um número inteiro não negativo e a outra é um número racional não inteiro.
C) duas são números imaginários puros e duas são números inteiros não positivos.
D) duas são números imaginários puros e duas são números inteiros não negativos.
E) duas são números imaginários, uma é um número irracional e uma é número inteiro.

Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais estão representados os gráficos das funções f(x) = x2 – 4 e g(x) = –x2 + 2x, com os pontos comuns P e Q, conforme figura. As coordenadas dos pontos P e Q são, respectivamente,
A) (2, 0) e (–2, –3).
B) (2, 0) e (–0,5, –3).
C) (1, 0) e (–1, –3).
D) (2, 0) e (–1, –3).
E) (1, 0) e (–0,5, –3).

Considerando que o vértice da parábola y = x2 + mx + n é o ponto V(-1, -4), o valor de (m + n) é
A) -2.
B) -1.
C) 0.
D) 1.
E) 2.

Neste ano de 2019, uma aluna de um Instituto Federal do Rio de Janeiro, conseguiu desenvolver com seu professor, um teorema que envolve funções do 2º grau, denominado Teorema da Etiene, em homenagem ao seu nome. Na prática, o teorema diz que numa função do segundo grau y = ax² + bx + c, o ponto simétrico ao ponto (0, c) em relação ao eixo de simetria da parábola pode ser simplesmente encontrado pelas coordenadas do ponto (x′ + x′′,c ), onde x′ e x′′ são as raízes ou zeros da função quando existentes. Baseado nesse teorema que já foi devidamente demonstrado, qual as coordenadas do ponto simétrico ao ponto (0,-12) em relação ao eixo de simetria da parábola de função y = 2x² − 2x − 12?
A) (1,-12)
B) (2,-12)
C) (3,-12)
D) (4,-12)
E) (5,-12)

É correto afirmar que o valor de k para que a função f(x)=x2 - 2x + k tenha o valor mínimo 2 é
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

A altura máxima foi de 9 m e todo o percurso da bola foi realizado em 6 s. Se, no instante inicial e final, a bola estava na altura zero, então a altura no instante de 4 s é:
A) 7 m.
B) 8 m.
C) 6 m.
D) 5 m.
E) 4 m.

Considere f(x) = ax + b. Se f(0) = 1 e f(0) + f(1) + f(2) + f(10) = –99, o valor de a³ + b³ é
A) -7
B) 9
C) 8
D) -4
E) -1

A concentração C(x) de certo medicamento na corrente sanguínea, após x horas da sua ingestão, é dada por C(x) = -0,06x² + 1,2x + 30, em partes por milhão (ppm). Parte do gráfico de C, para x real não negativo está esboçado a seguir. Qual o valor máximo que a concentração do medicamento atinge?
A) 33 ppm
B) 34 ppm
C) 35 ppm
D) 36 ppm
E) 37 ppm

Em um jogo de futebol, um jogador chuta uma bola parada, que descreve uma parábola até cair novamente no gramado. Sabendo-se que a parábola é descrita pela função y = 20x - x², a altura máxima atingida pela bola é
A) 100 m
B) 60 m
C) 20 m
D) 40 m
E) 80 m

Representando graficamente a função f(x) = − x² + 4x, considerem-se os pontos de abscissas iguais a − 1, 0, 2, 3 e 5 e todos os segmentos de reta com extremos nesses pontos. Escolhendo-se aleatoriamente um desses segmentos, a probabilidade de ele intersectar o eixo das abscissas é de
A) 80%
B) 75%
C) 70%
D) 65%
E) 60%

Se a função real de variável real, definida por f(x) = ax² + bx + c, é tal que f(1) = 2, f(2) = 5 e f(3) = 4, então o valor de f(4) é
A) 2.
B) -1.
C) 1.
D) -2.

Se o valor máximo da função f(x) = - x² + 12x + m é igual a 50, então 'm' é igual a:
A) 10
B) 11
C) 12
D) 13
E) 14

Um paciente compareceu a um Posto de Saúde apresentando febre de 40°C, foi atendido e, duas horas depois, a febre havia diminuído para 38°C. Sabendo-se que, nesse período, sua temperatura variou como uma função F do 2º grau, atingindo seu valor máximo, Fm, 30min após o início do atendimento, é correto afirmar que o valor de (Fm – 3,00o) é
A) 36,25°C
B) 37,25°C
C) 38,25°C
D) 39,25°C
E) 40,25°C

O formato dos túneis perfurados em grandes cidades, normalmente para desafogar o trânsito, é sempre parecido com uma parábola. Esse formato é mantido, pois suporta maior pressão sobre as paredes. Uma cidade com trânsito complicado construirá um túnel de 0,9 km de extensão, e sua entrada terá um formato parabólico. A equação da frente do túnel é y = x² + 12. A área Ap de uma curva parabólica é dada abaixo, conforme a figura. Depois de perfurado, o número aproximado, em m³, de terra retirada do túnel é cerca de
A) 28.000√2
B) 28.800√3
C) 29.500
D) 31.800√2
E) 32.000√3

Representantes de diversos cursos de uma universidade decidiram contratar uma empresa para organizar uma festa de formatura conjunta desses cursos. Para conseguir um melhor preço, os 400 alunos interessados aprovaram um pré-contrato, no qual cada aluno pagaria R$1.200,00 na assinatura do contrato definitivo. Contudo, se na assinatura do contrato definitivo houver desistências, o valor previamente acordado a ser pago por cada aluno sofrerá um acréscimo de R$ 50,00 para cada aluno desistente. Ou seja, se houver 1 aluno desistente, os demais terão que pagar R$ 1.250,00, se houver 2 alunos desistentes, os demais terão que pagar R$ 1.300,00, e assim sucessivamente. A receita da empresa é calculada através do produto entre o número de alunos que assinarem o contrato e o valor pago por cada um deles. Dado que o lucro da empresa corresponderá a 1/20 da receita, a função que descreve o lucro L(x) da empresa em função do número x de alunos desistentes é
A) L(x) = –2,5x² + 940x + 24000
B) L(x) = –5x² + 1150x + 24000
C) L(x) = –10x² + 375x + 48000
D) L(x) = –20x + 48000
E) L(x) = –350x + 24000

Seja f a função, cujo gráfico é dado a seguir. Sabendo que f é polinomial de grau 3, então, o valor da função no ponto x=3 é igual a
A) 3
B) 5
C) 9
D) 10
E) 27

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