Para resolver essa questão usando o Teorema de Green, precisamos primeiro identificar a integral de linha dada e transformá-la em uma integral dupla sobre a região delimitada pelo quadrado. A integral de linha é dada por: \[ \int_C e^y \, dx + 2x e^y \, dy \] De acordo com o Teorema de Green, podemos transformar essa integral de linha em uma integral dupla da seguinte forma: \[ \int_C P \, dx + Q \, dy = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA \] onde \( P = e^y \) e \( Q = 2x e^y \). Agora, calculamos as derivadas parciais: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = 2e^y \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = e^y \] Substituindo na fórmula do Teorema de Green: \[ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2e^y - e^y = e^y \] Agora, precisamos calcular a integral dupla sobre a região \( R \), que é o quadrado definido por \( 0 \leq x \leq 1 \) e \( 0 \leq y \leq 1 \): \[ \iint_R e^y \, dA = \int_0^1 \int_0^1 e^y \, dx \, dy \] A integral em relação a \( x \) é simples: \[ \int_0^1 e^y \, dx = e^y \cdot (1 - 0) = e^y \] Agora, integramos em relação a \( y \): \[ \int_0^1 e^y \, dy = [e^y]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \] Portanto, o valor da integral de linha ao longo da curva \( C \) é \( e - 1 \). Assim, a alternativa correta é: b) −1.