A,B e C são três pontos distintos numa reta. Se AB é igual ao dobro de BC e AC = 18 cm, determine AB e BC.

Matematicamente

há 2 anos

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há 11 meses

Para resolver essa questão, vamos usar as informações dadas: 1. Seja \( BC = x \). 2. Então, \( AB = 2x \) (porque AB é o dobro de BC). 3. A soma dos segmentos é dada por \( AC = AB + BC \). Substituindo os valores, temos: \[ AC = 2x + x = 3x \] Sabemos que \( AC = 18 \) cm, então: \[ 3x = 18 \] Dividindo ambos os lados por 3: \[ x = 6 \] Agora, podemos encontrar os valores de \( AB \) e \( BC \): - \( BC = x = 6 \) cm - \( AB = 2x = 2 \times 6 = 12 \) cm Portanto, os valores são: - \( AB = 12 \) cm - \( BC = 6 \) cm

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há 2 anos

Para resolver esse problema, podemos usar a propriedade de que, em uma reta, a soma das distâncias de um ponto em relação aos outros dois pontos é igual à distância entre esses dois pontos. Dado que AB é igual ao dobro de BC e AC é 18 cm, podemos encontrar AB e BC da seguinte maneira: AB = 2 * BC AC = AB + BC Substituindo AB na segunda equação, temos: 18 = 2 * BC + BC 18 = 3 * BC BC = 6 cm Agora que temos o valor de BC, podemos encontrar AB: AB = 2 * BC AB = 2 * 6 AB = 12 cm Portanto, AB é igual a 12 cm e BC é igual a 6 cm.

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Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F).
a) Por um ponto passam infinitas retas.
b) Por três pontos dados passa uma só reta.
c) Três pontos distintos são colineares.
d) Duas retas coplanares e distintas são concorrentes ou paralelas.
e) Duas retas que não têm ponto em comum são paralelas.

a) ( V ), axioma.
b) ( F ), por três pontos passam três retas.
c) ( F ), três pontos distintos não são colineares.
d) ( V ),
e) ( V ),

Quatro retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Qual o maior valor que n pode assumir?

Assinale Verdadeiro (V) ou Falso (F).
a) Um triângulo possui três ângulos externos. ( )
b) Um triângulo isósceles é sempre acutângulo. ( )
c) Um triângulo obtusângulo pode ser isósceles. ( )
d) Um triângulo isósceles pode ser equilátero. ( )
a) ( F ), pois possui seis ângulos externos.
b) ( F ), pois existe triângulo isósceles que é triângulo retângulo, por exemplo.
c) ( V ), basta que o ângulo formado pelos lados congruentes seja obtuso.
d) ( V ), basta que possua os três lados congruentes.

Em todo quadrilátero convexo circunscrit́ıvel a uma circunferência,
a soma das medidas dos lados opostos são iguais.

Teorema 2: Se um quadrilátero convexo tem dois lados opostos paralelos e congruentes, então esse quadrilátero é um paralelogramo. Prova: Seja ABCD um quadrilátero convexo com AD ‖ BC e AD ≡ BC. Tracemos a diagonal AC e sejam os triângulos (I) e (II). Temos: ⎧⎪⎨⎪⎩ AC ≡ AC (comum) 2̂ ≡ 3̂ (alternos internos) AD ≡ BC (hipótese) =⇒ LAL ΔI ≡ ΔII ⇒ 1̂ ≡ 4̂ Logo, os lados AB e CD do quadrilátero são paralelos. Dáı, AD ‖ BC e AB ‖ CD ⇒ ABCD é um paralelogramo.

a) Retângulo
b) Losango
c) Quadrado

4. Calcule os ângulos de um losango, sabendo que uma diagonal forma com um lado um ângulo de 41◦. Solução: Seja o losango ABCD da figura Temos pelas propriedades de losango que: Â = Ĉ = 2 · 41◦ = 82◦ pois a diagonal AC é bissetriz dos ângulos Â e Ĉ. Por outro lado, B̂ = D̂ = 180◦ − 82◦ = 98◦. Dáı, os ângulos do losango são: 82◦, 98◦, 82◦ e 98◦.

9. Sendo ABCD um paralelogramo, e a, b, c e d, respectivamente, as distâncias dos vértices A, B, C e D à reta r exterior. Mostre que a+ c = b+ d.

DE a reta paralela ao lado BC do triângulo ABC. Vamos provar que ΔADE ∼ ΔABC. Para provarmos essa semelhança, precisamos provar que eles tem ângulos ordenadamente congruentes e lados homólogos proporcionais. 1) Os três ângulos ordenadamente congruentes. De fato, Â ≡ Â (comum) D̂ ≡ B̂ (correspondentes) Ê ≡ Ĉ (correspondentes) 2) Os lados homólogos são proporcionais. De fato, pela hipótese, temos AD AB = AE AC Tracemos EF//AB. Temos: AE AC = BF BC Temos que o quadrilátero DBFE é um paralelogramo e, portanto, BF = DE. Substituindo (3) em (2), vem AE AC = DE BC Das relações (1) e (4), temos: AD AB = AE AC = DE BC e os lados homólogos são proporcionais. Logo, os triângulos ADE e ABC são semelhantes.

1. x = 24
2. Os comprimentos são 15 cm, 18 cm e 27 cm, respectivamente.
3. x = 30, y = 40
4. x = 13/5 e y = 12/5
5. CD = 60
6. 1080/11 cm.

A razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares é 1/4. Sabendo-se que o lado maior de um dos hexágonos mede 45 cm, calcule a medida do lado menor.

10. Por um ponto P distante 9 cm do centro de um ćırculo de 7 cm de raio, traça-se a secante PBC ao ćırculo de modo que PB vale a metade de PC. Calcule o comprimento do segmento PC.

8

Geometria

A,B e C são três pontos distintos numa reta. Se AB é igual ao dobro de BC e AC = 18 cm, determine AB e BC.

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Quatro retas distintas em um plano cortam-se em n pontos. Qual o maior valor que n pode assumir?

Em todo quadrilátero convexo circunscrit́ıvel a uma circunferência,
a soma das medidas dos lados opostos são iguais.

9. Sendo ABCD um paralelogramo, e a, b, c e d, respectivamente, as distâncias dos vértices A, B, C e D à reta r exterior. Mostre que a+ c = b+ d.

A razão entre os perímetros de dois hexágonos regulares é 1/4. Sabendo-se que o lado maior de um dos hexágonos mede 45 cm, calcule a medida do lado menor.

10. Por um ponto P distante 9 cm do centro de um ćırculo de 7 cm de raio, traça-se a secante PBC ao ćırculo de modo que PB vale a metade de PC. Calcule o comprimento do segmento PC.

8

A altura de um triângulo equilátero inscrito mede 10 cm. Calcule o lado do hexágono regular inscrito nesse mesmo ćırculo.

Determine o valor da altura x do triângulo ADE, se este triângulo e o trapézio DBCE têm a mesma área.

Não há alternativas fornecidas.

Determine os valores de a, b e c, em metros, sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a+ b+ c = 120 metros.

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10. Por um ponto P distante 9 cm do centro de um ćırculo de 7 cm de raio, traça-se a secante PBC ao ćırculo de modo que PB vale a metade de PC. Calcule o comprimento do segmento PC.8

A altura de um triângulo equilátero inscrito mede 10 cm. Calcule o lado do hexágono regular inscrito nesse mesmo ćırculo.

Determine o valor da altura x do triângulo ADE, se este triângulo e o trapézio DBCE têm a mesma área.Não há alternativas fornecidas.

Determine os valores de a, b e c, em metros, sabendo-se que as laterais dos terrenos são paralelas e que a+ b+ c = 120 metros.

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a soma das medidas dos lados opostos são iguais.

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8

Determine o valor da altura x do triângulo ADE, se este triângulo e o trapézio DBCE têm a mesma área.

Não há alternativas fornecidas.