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(Uece 2017) Três esferas, cujas medidas dos raios são respectivamente 1 cm, 2 cm e 3 cm, repousam sobre um plano horizontal e tangenciam-se mutuamente, isto é, cada esfera tangencia as outras duas. Os pontos de contato dessas esferas com o plano são vértices de um triângulo. O produto das medidas dos lados desse triângulo, em cm3, é igual a

a) 48.
b) 12.
c) 36.
d) 24.
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09 26 - (Lista Cilindros, Cones e Esferas)
2 pág.

09 26 - (Lista Cilindros, Cones e Esferas)

Respostas

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há 2 anos

Para resolver esse problema, podemos utilizar o Teorema de Pitágoras para encontrar as medidas dos lados do triângulo formado pelos pontos de contato das esferas com o plano. Seja r1, r2 e r3 os raios das esferas de 1 cm, 2 cm e 3 cm, respectivamente. Então, temos que: - O lado a do triângulo é igual a r1 + r2 - O lado b do triângulo é igual a r1 + r3 - O lado c do triângulo é igual a r2 + r3 Assim, podemos calcular o produto abc: (a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c) = 2(a²b² + b²c² + c²a²) - (a⁴ + b⁴ + c⁴) Substituindo as medidas dos lados pelos raios das esferas, temos: (1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 1)(-1 + 2 + 2 + 3 + 3 - 1)(1 - 2 + 2 + 3 - 3 + 1)(1 + 2 - 2 - 3 + 3 + 1) = 2[(1² x 2²) + (2² x 3²) + (3² x 1²)] - (1⁴ + 2⁴ + 3⁴) Simplificando a expressão, temos: (9)(6)(3)(3) = 2[(4) + (36) + (9)] - (1 + 16 + 81) 486 = 98 Como chegamos a uma contradição, concluímos que não há resposta correta entre as alternativas apresentadas.

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b) 1.600 km.
c) 2.700 km.
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c) 45π cm3.
d) 48π cm3.
e) 37π cm3.

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