Sejam os vetores u = 1,−1,−4 e v = 3,2,−2 . Determine um vetor ortogonal a u e v que: a) Seja unitário b) Tenha módulo 5 c) Tenha abcissa igual a 3

Para encontrar um vetor ortogonal a \( \mathbf{u} = (1, -1, -4) \) e \( \mathbf{v} = (3, 2, -2) \), podemos usar o produto vetorial \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \). Calculando o produto vetorial: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -4 \\ 3 & 2 & -2 \end{vmatrix} \] Isso resulta em: \[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{i}((-1)(-2) - (-4)(2)) - \mathbf{j}(1(-2) - (-4)(3)) + \mathbf{k}(1(2) - (-1)(3)) \] Calculando cada componente: 1. Para \( \mathbf{i} \): \( 2 + 8 = 10 \) 2. Para \( \mathbf{j} \): \( -(-2 + 12) = -10 \) 3. Para \( \mathbf{k} \): \( 2 + 3 = 5 \) Portanto, \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} = (10, -10, 5) \). Agora, vamos analisar as alternativas: a) Para ser unitário, o vetor deve ter módulo 1. O módulo de \( (10, -10, 5) \) é \( \sqrt{10^2 + (-10)^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 100 + 25} = \sqrt{225} = 15 \). Para ser unitário, precisaríamos normalizá-lo, o que não é a resposta direta. b) Para ter módulo 5, podemos escalar o vetor \( (10, -10, 5) \) para que seu módulo seja 5. O vetor unitário correspondente seria \( \left(\frac{10}{15}, \frac{-10}{15}, \frac{5}{15}\right) = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) \). Multiplicando por 5, teríamos \( \left(\frac{10}{3}, -\frac{10}{3}, \frac{5}{3}\right) \). c) Para ter a abcissa igual a 3, precisaríamos de um vetor que tenha a primeira componente igual a 3. O vetor \( (10, -10, 5) \) não atende a essa condição. Portanto, a alternativa correta que atende a uma das condições é a b) Tenha módulo 5.