Para determinar o volume máximo da caixa retangular de papelão, precisamos maximizar a área da base da caixa. Sabemos que a área total de papelão disponível é de 12m², então a área da base da caixa é x*y, onde x e y são as dimensões da base. Temos que a área total da caixa é dada por: A = 2xy + 2xz + 2yz Como a caixa não tem tampa, uma das dimensões deve ser menor que as outras duas. Suponha que x < y < z. Então, podemos escrever: A = 2xy + 2xz + 2yz = 2x(y+z) + 2yz Agora, podemos usar a área total de papelão disponível para escrever: 12 = 2x(y+z) + 2yz Podemos isolar y em termos de x e z: y = (12 - 2xz)/(2x + 2z) O volume da caixa é dado por: V = xyz Substituindo y em termos de x e z na expressão para o volume, temos: V = x(12 - 2xz)/(2x + 2z) * z V = 6xz/(x + z) Para maximizar o volume, precisamos maximizar a expressão acima. Podemos fazer isso usando cálculo diferencial. Derivando em relação a x e igualando a zero, temos: dV/dx = (6z(x + z) - 6xz)/(x + z)^2 = 0 Simplificando, temos: x = z/2 Substituindo x = z/2 na equação para a área total de papelão, temos: 12 = 2z(y + z/2) + 2yz Simplificando, temos: 6 = yz + z^2/2 Novamente, podemos maximizar o volume derivando em relação a y e igualando a zero: dV/dy = 6xz/(x + y)^2 - xz/(y + z/2)^2 = 0 Simplificando, temos: y = z/2 Substituindo y = z/2 na equação para a área total de papelão, temos: 12 = 3z^2 Logo, z = 2√2 e y = x = √2. Portanto, o volume máximo da caixa é: V = xyz = 2√2 Resposta: letra E) 4m³.