Para resolver a questão, precisamos calcular a derivada da função \( f \) ao longo da curva \( \gamma(t) \). 1. Definindo a função: Temos \( f(x, y) = \sqrt{x^2 + xy} \) e \( \gamma(t) = (e^t, e^{-t}) \). 2. Substituindo \( \gamma(t) \) em \( f \): \[ f(\gamma(t)) = f(e^t, e^{-t}) = \sqrt{(e^t)^2 + e^t \cdot e^{-t}} = \sqrt{e^{2t} + 1} \] 3. Calculando a derivada: Agora, precisamos calcular \( \frac{df(\gamma(t))}{dt} \): \[ \frac{df(\gamma(t))}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{e^{2t} + 1} \right) \] Usando a regra da cadeia: \[ \frac{d}{dt} \left( \sqrt{u} \right) = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot \frac{du}{dt} \] onde \( u = e^{2t} + 1 \) e \( \frac{du}{dt} = 2e^{2t} \). Portanto: \[ \frac{df(\gamma(t))}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{e^{2t} + 1}} \cdot 2e^{2t} = \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{2t} + 1}} \] 4. Analisando as alternativas: - a) \( \frac{2}{2\sqrt{e^{2t}+1}} \) - Não é a resposta correta. - b) \( \frac{(e^{2t}+1)}{\sqrt{e^t+1}} \) - Não é a resposta correta. - c) \( \frac{e^t}{2\sqrt{e^{2t}+1}} \) - Não é a resposta correta. - d) \( \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}} \) - Esta é a resposta correta. - e) \( \frac{2(e^{2t}+1)}{\sqrt{e^{2t}+1}} \) - Não é a resposta correta. Portanto, a alternativa correta é: d) \( \frac{e^{2t}}{\sqrt{e^{2t}+1}} \).