Para encontrar a taxa de variação da temperatura \( z \) em relação ao tempo \( t \) para a partícula que se desloca pela curva \( \gamma(t) = (t^3 + 2t, 2t) \), precisamos usar a regra da cadeia. 1. Identificar as variáveis: - A função de temperatura é \( z = f(x, y) = xy^2 + xy \). - A curva é dada por \( x(t) = t^3 + 2t \) e \( y(t) = 2t \). 2. Calcular as derivadas: - Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de \( f \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = y^2 + y \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} = 2xy + x \] 3. Avaliar as derivadas em \( t = 1 \): - Para \( t = 1 \): \[ x(1) = 1^3 + 2(1) = 3 \] \[ y(1) = 2(1) = 2 \] - Agora, substituímos \( x = 3 \) e \( y = 2 \) nas derivadas parciais: \[ \frac{\partial f}{\partial x} \bigg|_{(3, 2)} = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \] \[ \frac{\partial f}{\partial y} \bigg|_{(3, 2)} = 2(3)(2) + 3 = 12 + 3 = 15 \] 4. Calcular as derivadas de \( x \) e \( y \) em relação a \( t \): \[ \frac{dx}{dt} = 3t^2 + 2 \] \[ \frac{dy}{dt} = 2 \] - Para \( t = 1 \): \[ \frac{dx}{dt} \bigg|_{t=1} = 3(1)^2 + 2 = 3 + 2 = 5 \] \[ \frac{dy}{dt} \bigg|_{t=1} = 2 \] 5. Aplicar a regra da cadeia: \[ \frac{dz}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial f}{\partial y} \frac{dy}{dt} \] Substituindo os valores: \[ \frac{dz}{dt} = 6 \cdot 5 + 15 \cdot 2 = 30 + 30 = 60 \] Portanto, a taxa de variação de temperatura sofrida pela partícula no instante \( t = 1 \) é: a. \( \frac{dz}{dt} \bigg|_{t=1} = 60 \).