Para encontrar a equação do plano tangente à superfície dada pela função \( f(x, y) = x^2 + 2y^2 \) no ponto \( P(1, 1) \), precisamos seguir alguns passos: 1. Calcular \( f(1, 1) \): \[ f(1, 1) = 1^2 + 2(1^2) = 1 + 2 = 3 \] Portanto, o ponto \( P \) é \( (1, 1, 3) \). 2. Encontrar as derivadas parciais: - A derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x \] - A derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4y \] 3. Avaliar as derivadas parciais no ponto \( (1, 1) \): \[ f_x(1, 1) = 2(1) = 2 \] \[ f_y(1, 1) = 4(1) = 4 \] 4. Usar a fórmula do plano tangente: A equação do plano tangente em um ponto \( (x_0, y_0, z_0) \) é dada por: \[ z - z_0 = f_x(x_0, y_0)(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)(y - y_0) \] Substituindo os valores: \[ z - 3 = 2(x - 1) + 4(y - 1) \] Simplificando: \[ z - 3 = 2x - 2 + 4y - 4 \] \[ z = 2x + 4y - 3 \] 5. Rearranjando para a forma geral: \[ 2x + 4y - z - 3 = 0 \] Portanto, a alternativa correta é: a. 2x + 4y - z - 3 = 0.