Para verificar se um vetor \( v \) é um autovetor de uma matriz \( A \), precisamos checar se existe um escalar \( \lambda \) tal que \( A \cdot v = \lambda \cdot v \). Vamos analisar as alternativas: a) Para \( v = (-2, 1) \) e a matriz \( A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \): - Calculando \( A \cdot v \): \[ A \cdot v = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 \\ 1 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 + 2 \\ -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix} \] - Isso é igual a \( -1 \cdot v \), então \( v \) é um autovetor com \( \lambda = -1 \). Portanto, a resposta está correta: Sim. b) Para \( v = (1, 1, 2) \) e a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \): - Calculando \( A \cdot v \): \[ A \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ 6 \end{pmatrix} \] - Isso não é um múltiplo escalar de \( v \), então a resposta está incorreta: Não. c) Para \( v = (-2, 1, 3) \) e a matriz \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \): - Calculando \( A \cdot v \): \[ A \cdot v = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-2) + (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 3 \\ 2 \cdot (-2) + 3 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \\ 1 \cdot (-2) + 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 - 1 \\ -4 + 3 + 6 \\ -2 + 2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 5 \\ 3 \end{pmatrix} \] - Isso também não é um múltiplo escalar de \( v \), então a resposta está incorreta: Não. Resumindo: - a) Sim - b) Não - c) Não Portanto, a resposta correta para a alternativa a) é Sim.