Uma forma de facilitar a análise de circuitos complexos é transformar as equações que descrevem o circuito do domínio do tempo para o domínio da frequência, realizar a análise e transformar a solução de volta para o domínio do tempo. A representação no domínio do tempo é de acordo com o formato f(t) abaixo, de um sinal de tensão ou de corrente (IRWIN, 2013). Se sabemos que ℒ[f(t)] = F(s), também sabemos que ℒ−1[F(s)] = f(t). Nesse caso, dizemos que f(t) e F(s) formam um par de transformadas de Laplace (DORF et al, 2016). Toda a função que sofre uma transição abrupta de 0 para 1 é tida como função pulso. Calcule a transformada de Laplace da função g(t)= 3(t-15)u(t-20) e assinale a alternativa correta.

a. G(s)= e-15s(3/s))
b. G(s)= e-15s(3/20s))
c. G(s)= e-20s(3/s2))
d. G(s)= e-20s(3/s))
e. G(s)= e-15s(3/s2))

Question

Uma forma de facilitar a análise de circuitos complexos é transformar as equações que descrevem o circuito do domínio do tempo para o domínio da fr...

Ed · Answer

Para calcular a transformada de Laplace da função $ g(t) = 3(t-15)u(t-20) $, onde $ u(t-20) $ é a função degrau unitário que ativa a função a partir de $ t = 20 $, podemos usar a propriedade da transformada de Laplace para funções deslocadas.

A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ que é multiplicada por uma função degrau unitário $ u(t-a) $ é dada por:

$$
\mathcal{L}[f(t-a)u(t-a)] = e^{-as}F(s)
$$

onde $ F(s) $ é a transformada de Laplace de $ f(t) $.

Neste caso, temos:

1. **Identificação de $ f(t) $**: A função $ f(t) = 3(t-15) $ é válida para $ t \geq 20 $.
2. **Deslocamento**: O deslocamento é $ a = 20 $.
3. **Transformada de Laplace de $ f(t) $**: Para $ f(t) = 3(t-15) $, a transformada de Laplace é:

$$
F(s) = \mathcal{L}[3(t-15)] = 3 \cdot \frac{1}{s^2} \quad \text{(usando a propriedade da transformada de Laplace para funções lineares)}
$$

4. **Aplicando a propriedade do deslocamento**:

$$
G(s) = e^{-20s} \cdot F(s) = e^{-20s} \cdot 3 \cdot \frac{1}{s^2}
$$

Portanto, a transformada de Laplace da função $ g(t) $ é:

$$
G(s) = e^{-20s} \cdot \frac{3}{s^2}
$$

Agora, analisando as alternativas:

a. $ G(s) = e^{-15s} \left( \frac{3}{s} \right) $  
b. $ G(s) = e^{-15s} \left( \frac{3}{20s} \right) $  
c. $ G(s) = e^{-20s} \left( \frac{3}{s^2} \right) $  
d. $ G(s) = e^{-20s} \left( \frac{3}{s} \right) $  
e. $ G(s) = e^{-15s} \left( \frac{3}{s^2} \right) $

A alternativa correta é:

**c. $ G(s) = e^{-20s} \left( \frac{3}{s^2} \right) $**.

Ed · Answer

Para calcular a transformada de Laplace da função g(t) = 3(t-15)u(t-20), podemos utilizar a propriedade de mudança no eixo do tempo, que diz que se g(t) = f(t - a)u(t - a), então G(s) = e^(-as)F(s), onde F(s) é a transformada de Laplace de f(t).

Aplicando essa propriedade, temos:

g(t) = 3(t-15)u(t-20) = 3(t-20+5)u(t-20) = 3(t-20)u(t-20) + 15u(t-20)

Logo, a transformada de Laplace de g(t) é dada por:

G(s) = ℒ[g(t)] = ℒ[3(t-20)u(t-20)] + ℒ[15u(t-20)]
G(s) = 3ℒ[(t-20)u(t-20)] + 15ℒ[u(t-20)]
G(s) = 3e^(-20s)ℒ[tu(t)] + 15e^(-20s)ℒ[u(t)]
G(s) = 3e^(-20s) * 1/s^2 + 15e^(-20s) * 1/s

Portanto, a alternativa correta é a letra d: G(s) = e^(-20s)(3/s).

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