Sejam os campos vetoriais →G(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩G→(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩, →F(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩F→(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩ e →H(u,v)=⟨2−u2,v2,3v⟩H→(u,v)=⟨2−u2,v2,3v⟩. Determine o módulo da imagem do campo vetorial →Q(x,y,z)Q→(x,y,z), para o ponto (x,y,z) = (0,1,−1). Sabe-se que →Q(x,y,z)=2→G(x,y,z)×(→F(x,y,z)+→H(x,y))Q→(x,y,z)=2G→(x,y,z)×(F→(x,y,z)+H→(x,y)).

Question

Sejam os campos vetoriais →G(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩G→(u,v,w)=⟨u+w,v+u,w+1⟩, →F(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩F→(x,y,z)=⟨x−2y,2y−z,x+y⟩ e →H(u,v)=⟨2−u2,v2,3v⟩...

Ed · Answer

Para determinar o módulo da imagem do campo vetorial $\vec{Q}(x,y,z)$ no ponto $(0,1,-1)$, precisamos seguir os seguintes passos:

1. **Calcular $\vec{G}(0,1,-1)$**:
   $$
   \vec{G}(u,v,w) = \langle u+w, v+u, w+1 \rangle
   $$
   Substituindo $u=0$, $v=1$, $w=-1$:
   $$
   \vec{G}(0,1,-1) = \langle 0 + (-1), 1 + 0, -1 + 1 \rangle = \langle -1, 1, 0 \rangle
   $$

2. **Calcular $\vec{F}(0,1,-1)$**:
   $$
   \vec{F}(x,y,z) = \langle x - 2y, 2y - z, x + y \rangle
   $$
   Substituindo $x=0$, $y=1$, $z=-1$:
   $$
   \vec{F}(0,1,-1) = \langle 0 - 2(1), 2(1) - (-1), 0 + 1 \rangle = \langle -2, 3, 1 \rangle
   $$

3. **Calcular $\vec{H}(0,1)$**:
   $$
   \vec{H}(u,v) = \langle 2 - u^2, v^2, 3v \rangle
   $$
   Substituindo $u=0$, $v=1$:
   $$
   \vec{H}(0,1) = \langle 2 - 0^2, 1^2, 3(1) \rangle = \langle 2, 1, 3 \rangle
   $$

4. **Calcular $\vec{F}(0,1,-1) + \vec{H}(0,1)$**:
   $$
   \vec{F}(0,1,-1) + \vec{H}(0,1) = \langle -2, 3, 1 \rangle + \langle 2, 1, 3 \rangle = \langle 0, 4, 4 \rangle
   $$

5. **Calcular $\vec{Q}(0,1,-1)$**:
   $$
   \vec{Q}(x,y,z) = 2\vec{G}(x,y,z) \times (\vec{F}(x,y,z) + \vec{H}(x,y))
   $$
   Agora, precisamos calcular o produto vetorial:
   $$
   \vec{Q}(0,1,-1) = 2\langle -1, 1, 0 \rangle \times \langle 0, 4, 4 \rangle
   $$

O produto vetorial é dado por:
   $$
   \vec{A} \times \vec{B} = \langle A_2B_3 - A_3B_2, A_3B_1 - A_1B_3, A_1B_2 - A_2B_1 \rangle
   $$
   Aplicando:
   $$
   \langle 1 \cdot 4 - 0 \cdot 4, 0 \cdot 0 - (-1) \cdot 4, -1 \cdot 4 - 1 \cdot 0 \rangle = \langle 4, 4, -4 \rangle
   $$

Portanto:
   $$
   \vec{Q}(0,1,-1) = 2 \langle 4, 4, -4 \rangle = \langle 8, 8, -8 \rangle
   $$

6. **Calcular o módulo de $\vec{Q}(0,1,-1)$**:
   O módulo é dado por:
   $$
   ||\vec{Q}|| = \sqrt{8^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{64 + 64 + 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}
   $$

Portanto, o módulo da imagem do campo vetorial $\vec{Q}(0,1,-1)$ é $8\sqrt{3}$.

Ed · Answer

Para determinar o módulo da imagem do campo vetorial →Q(x,y,z) para o ponto (x,y,z) = (0,1,−1), precisamos calcular o produto vetorial entre →G(x,y,z) e (→F(x,y,z) + →H(x,y)) e, em seguida, calcular o módulo do resultado.

Primeiro, vamos substituir as expressões dos campos vetoriais →G(x,y,z), →F(x,y,z) e →H(x,y) pelos valores fornecidos:

→G(0,1,-1) = ⟨0+(-1),1+0,-1+1⟩ = ⟨-1,1,0⟩
→F(0,1,-1) = ⟨0-2(1),2(1)-(-1),0+1⟩ = ⟨-2,3,1⟩
→H(0,1) = ⟨2-(0)^2,1^2,3(1)⟩ = ⟨2,1,3⟩

Agora, vamos calcular o produto vetorial entre →G(0,1,-1) e (→F(0,1,-1) + →H(0,1)):

→Q(0,1,-1) = 2(⟨-1,1,0⟩ × (⟨-2,3,1⟩ + ⟨2,1,3⟩))

Realizando as operações:

→Q(0,1,-1) = 2(⟨-1,1,0⟩ × ⟨0,4,4⟩)
→Q(0,1,-1) = 2⟨-4,-4,4⟩
→Q(0,1,-1) = ⟨-8,-8,8⟩

Agora, vamos calcular o módulo do vetor →Q(0,1,-1):

|→Q(0,1,-1)| = √((-8)^2 + (-8)^2 + 8^2)
|→Q(0,1,-1)| = √(64 + 64 + 64)
|→Q(0,1,-1)| = √192
|→Q(0,1,-1)| ≈ 13.86

Portanto, o módulo da imagem do campo vetorial →Q(x,y,z) para o ponto (x,y,z) = (0,1,−1) é aproximadamente 13.86.

leidimar · Answer

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