Para determinar o módulo da imagem do campo vetorial \( Q(x,y,z) \) no ponto \( (0,1,-1) \), precisamos seguir os seguintes passos: 1. Calcular \( G(0,1,-1) \): \[ G(u,v,w) = (u + w, u + u, w + 1) \] Substituindo \( (u,v,w) = (0,1,-1) \): \[ G(0,1,-1) = (0 + (-1), 0 + 0, -1 + 1) = (-1, 0, 0) \] 2. Calcular \( F(0,1,-1) \): \[ F(x,y,z) = (x - 2y, 2y - z, x + y) \] Substituindo \( (x,y,z) = (0,1,-1) \): \[ F(0,1,-1) = (0 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 1 - (-1), 0 + 1) = (-2, 3, 1) \] 3. Calcular \( H(0,1) \): \[ H(u,v) = (2 - u^2, v^2, 3v) \] Substituindo \( (u,v) = (0,1) \): \[ H(0,1) = (2 - 0^2, 1^2, 3 \cdot 1) = (2, 1, 3) \] 4. Calcular \( F(0,1,-1) + H(0,1) \): \[ F(0,1,-1) + H(0,1) = (-2, 3, 1) + (2, 1, 3) = (-2 + 2, 3 + 1, 1 + 3) = (0, 4, 4) \] 5. Calcular \( Q(0,1,-1) \): \[ Q(x,y,z) = 2G(x,y,z) \times (F(x,y,z) + H(x,y)) \] Portanto: \[ Q(0,1,-1) = 2(-1, 0, 0) \times (0, 4, 4) \] Para calcular o produto vetorial: \[ (-1, 0, 0) \times (0, 4, 4) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 4 - 0 \cdot 4) - \hat{j}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) + \hat{k}(-1 \cdot 4 - 0 \cdot 0) = 0\hat{i} + 4\hat{j} - 4\hat{k} = (0, 4, -4) \] Agora, multiplicamos por 2: \[ Q(0,1,-1) = 2(0, 4, -4) = (0, 8, -8) \] 6. Calcular o módulo de \( Q(0,1,-1) \): O módulo é dado por: \[ \|Q(0,1,-1)\| = \sqrt{0^2 + 8^2 + (-8)^2} = \sqrt{0 + 64 + 64} = \sqrt{128} = 8\sqrt{2} \] Portanto, o módulo da imagem do campo vetorial \( Q(0,1,-1) \) é \( 8\sqrt{2} \).